Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπής των γραφικών τους παραστάσεων i) [pic] ii) [pic].

2. Ομοίως για τις συναρτήσεις: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic].

3. Oμοίως για τις συναρτήσεις: i) [pic] ii) [pic] iii) [pic] iv) [pic] v) [pic].

4. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μίας συνάρτησης f στο διάστημα [pic]. [pic] Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων και σημείων καμπής. [pic]

5. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση C της συνάρτησης θέσεως [pic] ενός κινητού που κινείται πάνω σε έναν άξονα. Αν η C παρουσιάζει καμπή τις χρονικές στιγμές [pic] και [pic], να βρείτε: i) Πότε το κινητό κινείται κατά τη θετική φορά και πότε κατά την αρνητική φορά. ii) Πότε η κίνηση του κινητού είναι επιταχυνόμενη και πότε επιβραδυνόμενη.

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: [pic] και να αποδείξετε ότι δύο από αυτά είναι συμμετρικά ως προς το τρίτο.

2. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης: [pic] έχει για κάθε τιμή του [pic], ακριβώς ένα σημείο καμπής που βρίσκεται στην παραβολή [pic].

3. Να αποδείξετε ότι για κάθε [pic] η συνάρτηση [pic] είναι κυρτή σε όλο το [pic].

4. Δίνεται η συνάρτηση [pic]. i) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. ii) Αν [pic] είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και [pic] η θέση του σημείου καμπής, να αποδείξετε ότι τα σημεία [pic], [pic] και [pic] είναι συνευθειακά.

5. Έστω f μια συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη στο [pic], για την οποία ισχύει [pic]. Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει σημεία καμπής.