Σημεία καμπής

Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic] (Σχ. 41) παρατηρούμε ότι, (α) στο σημείο [pic] η γραφική παράσταση της f έχει εφαπτομένη και (β) εκατέρωθεν του [pic], η κυρτότητα της καμπύλης αλλάζει. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η γραφική παράσταση της f "κάμπτεται" στο σημείο [pic]. Το σημείο Ο λέγεται σημείο καμπής της [pic]. Γενικά δίνουμε τον παρακάτω ορισμό.

ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα [pic], με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του [pic]. Αν - η f είναι κυρτή στο [pic] και κοίλη στο [pic], ή αντιστρόφως, και - η [pic] έχει εφαπτομένη στο σημείο [pic], τότε το σημείο [pic] ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.

Όταν το [pic] είναι σημείο καμπής της [pic], τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο [pic] καμπή και το [pic] λέγεται θέση σημείου καμπής. Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη της [pic] "διαπερνά" την καμπύλη. Αποδεικνύεται, επιπλέον, ότι:

ΘΕΩΡΗΜΑ Αν το [pic] είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε [pic]. [pic] Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος Δ στα οποία η [pic] είναι διαφορετική από το μηδέν δεν είναι θέσεις σημείων καμπής. Επομένως, οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σ' ένα διάστημα Δ είναι: i) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η [pic]μηδενίζεται, και ii) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η [pic] (Σχ. 43). [pic] Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση [pic] (Σχ. 44) Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [pic] με [pic]. Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα:

|x |[pic] 0 1| | |2 [pic] | |[pic]| [pic] | + 0| | |0 + |+ | |[pic]|κοίλη |κυρτή |κυρτή |κυρτή |

Επειδή η [pic] μηδενίζεται στα σημεία 0 και 2, ενώ δεν υπάρχει στο 1, οι πιθανές θέσεις των σημείων καμπής είναι τα σημεία 0, 1 και 2. Όμως, όπως φαίνεται στον παραπάνω πίνακα και στο σχήμα, τα σημεία 1 και 2 δεν είναι θέσεις σημείων καμπής, αφού σ’ αυτά η f δεν αλλάζει κυρτότητα, ενώ το σημείο 0 είναι θέση σημείου καμπής, αφού στο [pic] υπάρχει εφαπτομένη της [pic] και η f στο 0 αλλάζει κυρτότητα. Παρατηρούμε λοιπόν ότι από τις πιθανές θέσεις σημείων καμπής, θέση σημείου καμπής είναι μόνο το 0, εκατέρωθεν του οποίου η [pic] αλλάζει πρόσημο. Γενικά: Έστω μια συνάρτηση f oρισμένη σ’ ένα διάστημα [pic] και [pic]. Αν - η [pic] αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του [pic] και - ορίζεται εφαπτομένη της [pic] στο [pic], τότε το [pic] είναι σημείο καμπής.