Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

[pic] 1. Να βρεθεί το [pic] έτσι, ώστε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος να έχει μέγιστο εμβαδό. ΛΥΣΗ Το εμβαδό του ορθογωνίου είναι [pic]. Έχουμε [pic]. Οι ρίζες της [pic] είναι οι [pic], [pic]. Η μονοτονία και τα ακρότατα της Ε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα [pic] Άρα, η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι ίση με 4 και παρουσιάζεται όταν [pic]. [pic]

2. Έστω η συνάρτηση [pic]. i) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να αποδειχτεί ότι [pic], για κάθε [pic]. ΛΥΣΗ i) Έχουμε [pic], [pic]. Η εξίσωση [pic] έχει μία μόνο ρίζα, την [pic]. Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: [pic] ii) Επειδή η f για [pic] παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, για κάθε [pic] ισχύει: [pic] [pic]. Η ισότητα ισχύει μόνο όταν [pic].

3. Μία βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης [pic] κάθε μονάδας ενός προϊόντος, συναρτήσει του πλήθους x των μονάδων παραγωγής, σύμφωνα με τον τύπο [pic]. Το κόστος παραγωγής μιας μονάδας είναι 4000 δρχ. Αν η βιομηχανία πληρώνει φόρο 1200 δρχ. για κάθε μονάδα προϊόντος, να βρεθεί πόσες μονάδες προϊόντος πρέπει να παράγει η βιομηχανία, ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος. ΛΥΣΗ Η είσπραξη από την πώληση x μονάδων παραγωγής είναι [pic]. Το κόστος από την παραγωγή x μονάδων είναι [pic]. Το ολικό κόστος μετά την πληρωμή του φόρου είναι: [pic]. Επομένως, το κέρδος της βιομηχανίας είναι [pic] [pic] [pic]. Έχουμε [pic], οπότε η [pic] έχει ρίζα την [pic]. Η μονοτονία και τα ακρότατα της Ρ στο [pic] φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: [pic] Επομένως, το μέγιστο κέρδος παρουσιάζεται όταν η βιομηχανία παράγει 2900 μονάδες από το προϊόν αυτό και είναι ίσο με 50460 χιλιάδες δρχ.