ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση [pic] είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα. ΛΥΣΗ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με [pic]. Το πρόσημο της [pic] δίνεται στον παρακάτω πίνακα

|x |[pic] | |0 | |1 | |[pic]| | | | | | | | | | |[pic] | |+ |0 |[pic]|0 |+ | | | | | | | | | | |

Επομένως, η συνάρτηση f: - είναι γνησίως αύξουσα στο [pic], αφού είναι συνεχής στο [pic] και ισχύει [pic] στο [pic]. - είναι γνησίως φθίνουσα στο [pic], αφού είναι συνεχής στο [pic] και ισχύει [pic] στο [pic]. - είναι γνησίως αύξουσα στο [pic], αφού είναι συνεχής στο [pic] και ισχύει [pic] στο [pic]. Το πρόσημο της [pic] και το είδος μονοτονίας της f στα διαστήματα [pic], [pic] και [pic] συγκεντρώνονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα: [pic]

2. i) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση [pic], [pic] είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. ii) Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση [pic] έχει ακριβώς μια λύση στο [pic]. ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Είναι [pic], για κάθε [pic]. [pic] Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο [pic]. Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, σύμφωνα με την παράγραφο 1.8, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [pic]. ii) Έχουμε: [pic], [pic], [pic]. Επειδή το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα [pic], που περιέχει το 0, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον [pic], τέτοιο ώστε [pic]. Επειδή επιπλέον η f είναι γνησίως αύξουσα στο [pic], η [pic] είναι μοναδική ρίζα της [pic] στο διάστημα αυτό. Η ρίζα αυτή, όπως φαίνεται και στο σχήμα 28, είναι η τετμημένη του σημείου τομής της [pic] και της [pic].