Μονοτονία συνάρτησης

[pic] Έστω η συνάρτηση [pic]. Παρατηρούμε ότι στο διάστημα [pic], στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα, ισχύει [pic], ενώ στο διάστημα [pic], στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει [pic]. Βλέπουμε, δηλαδή, ότι υπάρχει μια σχέση ανάμεσα στη μονοτονία και στο πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης. Συγκεκριμένα ισχύει:

ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. - Αν [pic] σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. - Αν [pic] σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ - Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι [pic]. Έστω [pic] με [pic]. Θα δείξουμε ότι [pic]. Πράγματι, στο διάστημα [pic] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε [pic], οπότε έχουμε [pic] Επειδή [pic] και [pic], έχουμε [pic], οπότε [pic]. - Στην περίπτωση που είναι [pic] εργαζόμαστε αναλόγως. [pic] Για παράδειγμα: - η συνάρτηση [pic], είναι γνησίως αύξουσα στο [pic], αφού είναι συνεχής στο [pic] και ισχύει [pic] για κάθε [pic]. [pic] - η συνάρτηση [pic] είναι γνησίως αύξουσα στο [pic], αφού είναι συνεχής στο [pic] και [pic] για κάθε [pic], ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο [pic], αφού είναι συνεχής στο [pic] και [pic] για κάθε [pic]. [pic] - η συνάρτηση [pic] είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα [pic], και [pic], αφού [pic] για κάθε [pic] και για κάθε [pic]. [pic]

ΣΧΟΛΙΟ Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ. Για παράδειγμα, η συνάρτηση [pic], αν και είναι γνησίως αύξουσα στο [symbol], εντούτοις έχει παράγωγο [pic] η οποία δεν είναι θετική σε όλο το [pic], αφού [pic]. Ισχύει όμως [pic] για κάθε [pic].