2.5 TO ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

Στην παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε ένα από τα πλέον βασικά θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού που είναι γνωστό ως Θεώρημα Μέσης Τιμής. Αρχικά διατυπώνουμε το Θεώρημα του Rolle, το οποίο είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής και στη συνέχεια διατυπώνουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής, το οποίο αποδεικνύεται με τη βοήθεια του Θεωρήματος του Rolle.

ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle) Αν μια συνάρτηση f είναι: - συνεχής στο κλειστό διάστημα [pic] - παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα [pic] και - [pic] τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, [pic] τέτοιο, ώστε: [pic] [pic] Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, [pic] τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της [pic] στο [pic] να είναι παράλληλη στον άξονα των x. [pic] Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση [pic], [pic]. (Σχ. 19)

Επειδή η f είναι συνεχής στο [pic], παραγωγίσιμη στο [pic], με [pic] και [pic], σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, θα υπάρχει ένας αριθμός [pic] τέτοιος, ώστε [pic]. Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε: [pic].

ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ.) Αν μια συνάρτηση f είναι: - συνεχής στο κλειστό διάστημα [pic] και - παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα [pic] τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, [pic] τέτοιο, ώστε: [pic] [pic] Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, [pic] τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο [pic] να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση [pic], [pic]. [pic] Επειδή η f είναι συνεχής στο [pic] και παραγωγίσιμη στο [pic], με [pic], σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής, θα υπάρχει ένας αριθμός [pic] τέτοιος, ώστε [pic]. Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε: [pic].