Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης

Έστω ότι ζητάμε την παράγωγο της συνάρτησης [pic], η οποία είναι σύνθεση της [pic] και της [pic]. Επειδή [pic], έχουμε [pic] [pic]. Παρατηρούμε ότι η παράγωγος της [pic] δεν είναι η συνάρτηση [pic], όπως ίσως θα περίμενε κανείς από τον τύπο [pic]. Αυτό εξηγείται με το παρακάτω θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και η f είναι παραγωγίσιμη στο [pic], τότε η συνάρτηση [pic] είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και ισχύει [pic] Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο [pic], τότε η συνάρτηση [pic] είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει [pic]. Δηλαδή, αν [pic], τότε [pic]. Με το συμβολισμό του Leibniz, αν [pic] και [pic], έχουμε τον τύπο [pic] που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το σύμβολο [pic] δεν είναι πηλίκο. Στον κανόνα της αλυσίδας απλά συμπεριφέρεται ως πηλίκο, πράγμα που ευκολύνει την απομνημόνευση του κανόνα. Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι τα εξής: - Η συνάρτηση [pic], [pic] είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και ισχύει [pic], δηλαδή

|[pic] (1) |

(1) Αποδεικνύεται ότι, για [pic] η f είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο [pic] και η παράγωγός της είναι ίση με 0, επομένως δίνεται από τον ίδιο τύπο.

Πράγματι, αν [pic] και θέσουμε [pic], τότε έχουμε [pic]. Επομένως, [pic]. - Η συνάρτηση [pic], [pic] είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και ισχύει [pic], δηλαδή

|[pic] |

Πράγματι, αν [pic] και θέσουμε [pic], τότε έχουμε [pic]. Επομένως, [pic]. - Η συνάρτηση [pic], [pic] είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και ισχύει

|[pic] |

Πράγματι· - αν [pic], τότε [pic], ενώ - αν [pic], τότε [pic], οπότε, αν θέσουμε [pic] και [pic], έχουμε [pic]. Επομένως, [pic] και άρα [pic]. Ανακεφαλαιώνοντας, αν η συνάρτηση [pic] είναι παραγωγίσιμη, τότε έχουμε:

| [pic] | [pic] | | [pic] |[pic] | | [pic] | [pic] | |[pic] | [pic] | |[pic] |