2.3 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

Παράγωγος αθροίσματος

ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν οι συναρτήσεις [pic] είναι παραγωγίσιμες στο [pic], τότε η συνάρτηση [pic] είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και ισχύει: [pic] ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για [pic], ισχύει: [pic]. Επειδή οι συναρτήσεις [pic] είναι παραγωγίσιμες στο [pic], έχουμε: [pic] δηλαδή [pic]. Αν οι συναρτήσεις [pic] είναι παραγωγίσιμες σ’ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε [pic] ισχύει: [pic]. Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Δηλαδή, αν [pic], είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότε [pic]. Για παράδειγμα, [pic].

Παράγωγος γινομένου

ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν οι συναρτήσεις [pic] είναι παραγωγίσιμες στο [pic], τότε και η συνάρτηση [pic] είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και ισχύει: [pic] ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για [pic] ισχύει: [pic] [pic] [pic]. Επειδή οι [pic] είναι παραγωγίσιμες, άρα και συνεχείς στο [pic], έχουμε: [pic] [pic], δηλαδή [pic] Αν οι συναρτήσεις [pic] είναι παραγωγίσιμες σ’ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε [pic] ισχύει: [pic]. Για παράδειγμα, [pic], [pic]. Το παραπάνω θεώρημα επεκτείνεται και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Έτσι, για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισχύει: [pic] [pic] [pic]. Για παράδειγμα, [pic] [pic], [pic]. Αν f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ’ ένα διάστημα Δ και [pic], επειδή [pic], σύμφωνα με το θεώρημα (2) έχουμε:

|[pic] |

Για παράδειγμα, [pic].

Παράγωγος πηλίκου

ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις [pic] είναι παραγωγίσιμες στο [pic] και [pic], τότε και η συνάρτηση [pic] είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και ισχύει: [pic]

Η απόδειξη παραλείπεται. Αν οι συναρτήσεις [pic] είναι παραγωγίσιμες σ’ ένα διάστημα Δ και για κάθε [pic] ισχύει [pic], τότε για κάθε [pic] έχουμε: [pic]. Για παράδειγμα, [pic] [pic], [pic]. Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες προτάσεις μπορούμε τώρα να βρούμε τις παραγώγους μερικών ακόμη βασικών συναρτήσεων. - Έστω η συνάρτηση [pic], [pic]. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και ισχύει [pic], δηλαδή

|[pic] |

Πράγματι, για κάθε [pic] έχουμε: [pic]. Για παράδειγμα, [pic], [pic]. Είδαμε, όμως, πιο πριν ότι [pic], για κάθε φυσικό [pic]. Επομένως, αν [pic], τότε [pic]. - Έστω η συνάρτηση [pic]. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και ισχύει [pic], δηλαδή

|[pic] |

Πράγματι, για κάθε [pic] έχουμε: [pic] [pic]. - Έστω η συνάρτηση [pic]. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και ισχύει [pic], δηλαδή

|[pic] |