ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο [pic], όταν i) [pic], [pic] ii) [pic], [pic] iii) [pic], [pic].

2. Να βρείτε (αν υπάρχει) την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο [pic], όταν i) [pic], [pic] ii)[pic], [pic] iii) [pic], [pic] iv)[pic], [pic].

3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση [pic] είναι παραγωγίσιμη στο 0.

4. Αφού μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο [pic] τις παρακάτω συναρτήσεις, να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμες στο σημείο αυτό. i) [pic], αν [pic] ii) [pic], αν [pic].

5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της [pic] (αν ορίζεται) στο [pic] για κάθε μία από τις συναρτήσεις των ασκήσεων 1 και 2.

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης [pic] στο σημείο [pic].

2. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει [pic], για κάθε [pic], να αποδείξετε ότι: i) [pic] ii) [pic].

3. Αν [pic], να αποδείξετε ότι ορίζεται εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο [pic] και σχηματίζει με τον άξονα των x γωνία [pic].

4. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης [pic] στο [pic].

5. Αν [pic], για κάθε [pic], να αποδείξετε ότι: i) [pic] ii) [pic], για [pic] και [pic], για [pic] iii) [pic].

6. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο [pic] και για κάθε [pic] ισχύει: [pic] να αποδείξετε ότι i) [pic] ii) [pic].

7. Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 και [pic], να αποδείξετε ότι: i) [pic] ii) [pic].

8. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [pic], τότε i) [pic] ii) [pic].

9. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων θέσεως τριών κινητών που κινήθηκαν πάνω στον άξονα [pic] στο χρονικό διάστημα από 0sec έως 8sec. Να βρείτε: [pic] i) Ποιο κινητό ξεκίνησε από την αρχή του άξονα κίνησης; ii) Ποιο κινητό κινήθηκε μόνο προς τα δεξιά; iii) Ποιο κινητό άλλαξε φορά κίνησης τη χρονική στιγμή [pic]sec, ποιο τη χρονική στιγμή [pic]sec και ποιο τη χρονική στιγμή [pic]sec; iv) Ποιο κινητό κινήθηκε προς τα αριστερά σε όλο το χρονικό διάστημα από 0sec έως 4sec; v) Ποιο κινητό τερμάτισε πιο κοντά στην αρχή του άξονα κίνησης; vi) Ποιο κινητό διάνυσε το μεγαλύτερο διάστημα;