Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ορισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις [pic] των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα παρακάτω σχήματα. [pic] [pic] [pic] Παρατηρούμε ότι: - Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [pic] και ισχύει: [pic] - Η συνάρτηση g είναι ορισμένη στο [pic] αλλά [pic]. - Η συνάρτηση h είναι ορισμένη στο [pic] αλλά δεν υπάρχει το όριό της. Από τις τρεις γραφικές παραστάσεις του σχήματος μόνο η γραφική παράσταση της f δε διακόπτεται στο [pic]. Είναι, επομένως, φυσικό να ονομάσουμε συνεχή στο [pic] μόνο τη συνάρτηση f. Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό.

ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση f και [pic] ένα σημείο [pic] του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο [pic], όταν [pic]

Για παράδειγμα, η συνάρτηση [pic] είναι συνεχής στο 0, αφού [pic]. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο [pic] του πεδίου ορισμού της όταν: α) Δεν υπάρχει το όριό της στο [pic] ή β) Υπάρχει το όριό της στο [pic], αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, [pic], στο σημείο [pic]. Για παράδειγμα: - Η συνάρτηση [pic] δεν είναι συνεχής στο 0, αφού [pic], ενώ [pic], οπότε δεν υπάρχει το όριο της f στο 0. ( Η συνάρτηση [pic] δεν είναι συνεχής στο 1, αφού [pic], ενώ [pic]. Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, απλά, συνεχής συνάρτηση. Για παράδειγμα: - Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε [pic] ισχύει [pic]. - Κάθε ρητή συνάρτηση [pic] είναι συνεχής, αφού για κάθε [pic] του πεδίου ορισμού της ισχύει [pic]. - Οι συναρτήσεις [pic] και [pic] είναι συνεχείς, αφού για κάθε [pic] ισχύει [pic] και [pic]. Τέλος, αποδεικνύεται ότι: - Οι συναρτήσεις [pic] και [pic], [pic] είναι συνεχείς.