1.7 ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Στα παρακάτω σχήματα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων [pic] σε ένα διάστημα της μορφής [pic]. [pic] [pic] [pic] Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο, - το [pic] προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό [pic]. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f έχει στο [pic] όριο το [pic] και γράφουμε [pic] - το [pic] αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο [pic] όριο το [pic] και γράφουμε [pic] - το [pic] μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο [pic] όριο το [pic] και γράφουμε [pic].

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f στο [pic], πρέπει η f να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής [pic]. Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν, όταν [pic] για μια συνάρτηση που είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής [pic]. Έτσι, για τις συναρτήσεις [pic] των παρακάτω σχημάτων έχουμε: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] και [pic]. Για τον υπολογισμό του ορίου στο [pic] ή [pic] ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια: [pic] και [pic], [pic] [pic] και [pic], [pic]. Για παράδειγμα, [pic], [pic] και [pic]. Για τα όρια στο [pic], [pic] ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο [pic] με την προϋπόθεση ότι: - οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και - δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή.

Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης - Έστω η συνάρτηση [pic]. Αν εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των ορίων για τον υπολογισμό του [pic], καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής: Για [pic] έχουμε [pic]. Επειδή [pic] και [pic] έχουμε [pic]. Γενικά Για την πολυωνυμική συνάρτηση [pic], με [pic] ισχύει: [pic] και [pic] Για παράδειγμα, [pic]. - Έστω τώρα η συνάρτηση [pic]. Για [pic] έχουμε: [pic]. Επειδή [pic] και [pic] έχουμε [pic]. Γενικά, Για τη ρητή συνάρτηση [pic], [pic], [pic] ισχύει: [pic] και [pic] Για παράδειγμα, [pic]. [pic]

Όρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης Αποδεικνύεται(1) ότι: - Αν [pic] (Σχ. 60), τότε

|[pic], [pic]| | | |[pic], [pic] | [pic] - Αν [pic] (Σχ. 61), τότε

|[pic], [pic] | |[pic], [pic] |

Πεπερασμένο όριο ακολουθίας Η έννοια της ακολουθίας είναι γνωστή από προηγούμενες τάξεις. Συγκεκριμένα: ΟΡΙΣΜΟΣ Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση [pic]. Η εικόνα [pic] της ακολουθίας α συμβολίζεται συνήθως με [pic], ενώ η ακολουθία α συμβολίζεται με [pic]. Για παράδειγμα, η συνάρτηση [pic], [pic] είναι μια ακολουθία. Επειδή το πεδίο ορισμού κάθε ακολουθίας, είναι το [pic], έχει νόημα να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της για πολύ μεγάλες τιμές του ν, δηλαδή όταν [pic]. Ο ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ανάλογος του ορισμού του ορίου συνάρτησης στο [pic] και διατυπώνεται ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Θα λέμε ότι η ακολουθία [pic] έχει όριο το [pic] και θα γράφουμε [pic], όταν για κάθε [pic], υπάρχει [pic] τέτοιο, ώστε για κάθε [pic] να ισχύει [pic] Οι γνωστές ιδιότητες των ορίων συναρτήσεων όταν [pic], που μελετήσαμε στα προηγούμενα, ισχύουν και για τις ακολουθίες. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων αυτών μπορούμε να υπολογίζουμε όρια ακολουθιών. Για παράδειγμα, [pic].