Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Ορισμός του ορίου στο [pic]

- Στα προηγούμενα γνωρίσαμε την έννοια του ορίου διαισθητικά. Είδαμε ότι, όταν γράφουμε [pic], εννοούμε ότι οι τιμές [pic] βρίσκονται όσο θέλουμε κοντά στο [pic], για όλα τα [pic] τα οποία βρίσκονται "αρκούντως κοντά στο [pic]". Για να διατυπώσουμε, τώρα, τα παραπάνω σε μαθηματική γλώσσα εργαζόμαστε ως εξής: [pic] - Στη θέση της φράσης "οι τιμές [pic] βρίσκονται οσοδήποτε θέλουμε κοντά στο [pic]" χρησιμοποιούμε την ανισότητα [pic], (1) όπου ε οποιοσδήποτε θετικός αριθμός. - Στη θέση της φράσης "για όλα τα [pic] που βρίσκονται αρκούντως κοντά στο [pic]" χρησιμοποιούμε την ανισότητα [pic], (2) όπου δ είναι ένας αρκούντως μικρός θετικός αριθμός. - Η ανισότητα [pic] δηλώνει ότι [pic]. - Για να συνδέσουμε τις δυο αυτές φράσεις σύμφωνα με τον διαισθητικό ορισμό λέμε ότι για οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε μπορούμε να βρούμε έναν θετικό αριθμό δ τέτοιον ώστε, αν το x ικανοποιεί τη (2), τότε το [pic] θα ικανοποιεί την (1). Έχουμε δηλαδή τον ακόλουθο ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής [pic]. Θα λέμε ότι η f έχει στο [pic] όριο [pic], όταν για κάθε [pic] υπάρχει [pic] τέτοιος, ώστε για κάθε [pic], με [pic], να ισχύει: [pic] Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο [pic], τότε αυτό είναι μοναδικό και συμβολίζεται, όπως είδαμε, με [pic]. Στη συνέχεια, όταν γράφουμε [pic], θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο της f στο [pic] και είναι ίσο με [pic]. Συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες:

|(α) [pic] [pic] [pic] | |(β) [pic] [pic] [pic] |

- Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής [pic] και την ανισότητα [pic] την αντικαταστήσουμε με την [pic], τότε έχουμε τον ορισμό του [pic], ενώ αν η f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής [pic] και την ανισότητα [pic] την αντικαταστήσουμε με την [pic], τότε έχουμε τον ορισμό του [pic]. Αποδεικνύεται ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής [pic], τότε ισχύει η ισοδυναμία: [pic] [pic] [pic] [pic] - Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής [pic], αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής [pic], τότε ορίζουμε: [pic]. Για παράδειγμα, [pic] (Σχ. 44) [pic] - Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής [pic], αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής [pic], τότε ορίζουμε: [pic]. Για παράδειγμα, [pic] (Σχ. 45)

ΣΧΟΛΙΟ Αποδεικνύεται ότι το [pic] είναι ανεξάρτητο των άκρων [pic] των διαστημάτων [pic] και [pic] στα οποία θεωρούμε ότι είναι ορισμένη η f. [pic] Έτσι για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε το όριο της συνάρτησης [pic] στο [pic], περιοριζόμαστε στο υποσύνολο [pic] του πεδίου ορισμού της, στο οποίο αυτή παίρνει τη μορφή [pic]. Επομένως, όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήμα, το ζητούμενο όριο είναι [pic].

ΣΥΜΒΑΣΗ Στη συνέχεια, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο [pic] μια ιδιότητα Ρ θα εννοούμε ότι ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες: α) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής [pic] και στο σύνολο αυτό έχει την ιδιότητα Ρ. β) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής [pic], έχει σ' αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής [pic]. γ) Η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής [pic], έχει σ' αυτό την ιδιότητα Ρ, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής [pic]. Για παράδειγμα, η συνάρτηση [pic] είναι θετική κοντά στο [pic], αφού ορίζεται στο σύνολο [pic] και είναι θετική σε αυτό.

Όριο ταυτοτικής - σταθερής συνάρτησης Με τη βοήθεια του ορισμού του ορίου αποδεικνύεται ότι:

|[pic] | |[pic] | [pic] [pic] Η πρώτη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της ταυτοτικής συνάρτησης [pic] (Σχ. 47α) στο [pic] είναι ίσο με την τιμή της στο [pic], ενώ η δεύτερη ισότητα δηλώνει ότι το όριο της σταθερής συνάρτησης [pic] (Σχ. 47β) στο [pic] είναι ίσο με c.