1.4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ [pic]

Εισαγωγή Η έννοια του ορίου γεννήθηκε στην προσπάθεια των μαθηματικών να απαντήσουν σε ερωτήματα όπως: - Τι ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού; - Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μιας καμπύλης σε ένα σημείο της; - Τι ονομάζουμε εμβαδό ενός μικτόγραμμου χωρίου; Στις παραγράφους που ακολουθούν, αρχικά προσεγγίζουμε την έννοια του ορίου "διαισθητικά", στη συνέχεια διατυπώνουμε τον αυστηρό μαθηματικό ορισμό του ορίου και μερικές βασικές ιδιότητές του και τέλος, εισάγουμε την έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης. Η έννοια του ορίου [pic] - Έστω η συνάρτηση [pic]. Η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού το σύνολο [pic] και γράφεται [pic], [pic]. Επομένως, η γραφική της παράσταση είναι η ευθεία [pic] με εξαίρεση το σημείο A(1,2) (Σχ. 38). Στο σχήμα αυτό, παρατηρούμε ότι: "Καθώς το x, κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο πάνω στον άξονα [pic], προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό 1, το [pic], κινούμενο πάνω στον άξονα [pic], προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό 2. Και μάλιστα, οι τιμές [pic] είναι τόσο κοντά στο 2 όσο θέλουμε, για όλα τα [pic] που είναι αρκούντως κοντά στο 1". Στην περίπτωση αυτή γράφουμε [pic] και διαβάζουμε "το όριο της [pic], όταν το x τείνει στο 1, είναι 2". Γενικά: Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό [pic], καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό [pic], τότε γράφουμε [pic] και διαβάζουμε "το όριο της [pic], όταν το x τείνει στο [pic], είναι [pic]" ή "το όριο της [pic] στο [pic] είναι [pic]". [pic] [pic] [pic]

ΣΧΟΛΙΟ Από τα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε ότι: - Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο [pic], πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουμε "κοντά στο [pic]", δηλαδή η f να είναι ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής [pic] ή [pic] ή [pic]. - Το [pic] μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Σχ. 39α, 39β) ή να μην ανήκει σ’ αυτό (Σχ. 39γ). - Η τιμή της f στο [pic], όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο [pic] (Σχ. 39α) ή διαφορετική από αυτό. (Σχ. 39β). [pic] - Έστω, τώρα, η συνάρτηση [pic], της οποίας η γραφική παράσταση αποτελείται από τις ημιευθείες του διπλανού σχήματος. Παρατηρούμε ότι: - Όταν το x προσεγγίζει το 1 από αριστερά [pic], τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό 2. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε: [pic]. - ΄Όταν το x προσεγγίζει το 1 από δεξιά [pic], τότε οι τιμές της f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό 4. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε: [pic]. Γενικά: - ΄Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό [pic], καθώς το x προσεγγίζει το [pic] από μικρότερες τιμές [pic], τότε γράφουμε: [pic] και διαβάζουμε: "το όριο της [pic], όταν το x τείνει στο [pic] από τα αριστερά, είναι [pic]". - ΄Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό [pic], καθώς το x προσεγγίζει το [pic] από μεγαλύτερες τιμές [pic], τότε γράφουμε: [pic] και διαβάζουμε: "το όριο της [pic], όταν το x τείνει στο [pic] από τα δεξιά, είναι [pic]". [pic] [pic] [pic] Τους αριθμούς [pic] και [pic] τους λέμε πλευρικά όρια της f στο [pic] και συγκεκριμένα το [pic] αριστερό όριο της f στο [pic], ενώ το [pic] δεξιό όριο της f στο [pic]. Από τα παραπάνω σχήματα φαίνεται ότι:

|[pic], αν και μόνο αν [pic] | [pic]

Για παράδειγμα, η συνάρτηση [pic] (Σχ. 42) δεν έχει όριο στο [pic], αφού: - για[pic]είναι[pic], οπότε[pic], ενώ - για [pic] είναι [pic], οπότε [pic], και έτσι [pic]