Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Συνάρτηση [pic]

[pic] Έστω η συνάρτηση [pic] Παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε [pic] ισχύει η συνεπαγωγή: "Αν [pic], τότε [pic]", που σημαίνει ότι: "Τα διαφορετικά στοιχεία [pic] έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες". Λόγω της τελευταίας ιδιότητας η συνάρτηση [pic] λέγεται συνάρτηση [pic] (ένα προς ένα). Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση [pic] λέγεται συνάρτηση [pic], όταν για οποιαδήποτε [pic] ισχύει η συνεπαγωγή: αν [pic], τότε [pic].

Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι: Μια συνάρτηση [pic] είναι συνάρτηση [pic], αν και μόνο αν για οποιαδήποτε [pic] ισχύει η συνεπαγωγή: αν [pic], τότε [pic]. Έτσι για παράδειγμα: - Η συνάρτηση [pic], με [pic] είναι συνάρτηση [pic]. (Σχ. 31α, β) [pic] [pic] [pic] αφού, αν υποθέσουμε ότι [pic], τότε έχουμε διαδοχικά: [pic] [pic] [pic]. [pic] - Η συνάρτηση [pic] δεν είναι συνάρτηση 1-1 (Σχ. 31γ), αφού [pic] για οποιαδήποτε [pic], - Η συνάρτηση [pic] (Σχ. 32) δεν είναι συνάρτηση [pic], αφού [pic] αν και είναι [pic].

ΣΧΟΛΙΑ - Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι [pic], αν και μόνο αν: - Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση [pic] έχει ακριβώς μια λύση ως προς x. - Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο (Σχ. 33α). [pic] [pic] [pic] - Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση [pic]. Έτσι, οι συναρτήσεις [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] και [pic], [pic], είναι συναρτήσεις [pic]. Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι [pic] αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως για παράδειγμα η συνάρτηση [pic] (Σχ. 34).