Σύνθεση συναρτήσεων

Έστω η συνάρτηση [pic]. Η τιμή της φ στο x μπορεί να οριστεί σε δύο φάσεις ως εξής: α) Στο [pic] αντιστοιχίζουμε τον αριθμό [pic] και στη συνέχεια β) στο [pic] αντιστοιχίζουμε τον αριθμό [pic], εφόσον [pic]. [pic] Στη διαδικασία αυτή εμφανίζονται δύο συναρτήσεις: α) η [pic], που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο [pic] (α΄ φάση) και β) η [pic], που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο [pic] (β΄ φάση). Έτσι, η τιμή της φ στο x γράφεται τελικά [pic]. Η συνάρτηση φ λέγεται σύνθεση της f με την g και συμβολίζεται με [pic]. Το πεδίο ορισμού της φ δεν είναι ολόκληρο το πεδίο ορισμού Α της f, αλλά περιορίζεται στα [pic] για τα οποία η τιμή [pic] ανήκει στο πεδίο ορισμού Β της g, δηλαδή είναι το σύνολο [pic]. Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με [pic], τη συνάρτηση με τύπο [pic]. [pic] Το πεδίο ορισμού της [pic] αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το [pic] ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο [pic]. Είναι φανερό ότι η [pic] ορίζεται αν [pic], δηλαδή αν [pic]. ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου, θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που οι συνθέσεις τους έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων.