Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνεται η συνάρτηση [pic] με [pic] με [pic] και [pic]. α) Να αποδείξετε ότι [pic]. β) Έστω [pic] δυο (σταθεροί) πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί από το 0. Να βρείτε το είδος της καμπύλης στην οποία ανήκουν τα σημεία [pic], με [pic], για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί [pic] ικανοποιούν τη σχέση [pic].

2. Θεωρούμε τους μιγαδικούς [pic] [pic] και [pic] για τους οποίους ισχύουν: [pic] και [pic], όπου [pic]. Να δείξετε ότι αν το [pic] μεταβάλλεται στο [pic] και ισχύει [pic], τότε η εικόνα P του [pic] στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή.

3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς [pic]. α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w για τον οποίο ισχύει [pic] γ) Να βρείτε το μιγαδικό [pic] που έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχή [pic].

4. Να γραμμοσκιάσετε το τμήμα του μιγαδικού επιπέδου που ορίζουν οι εικόνες των μιγαδικών [pic], για τους οποίους ισχύει: α) [pic] β) [pic].

5. Να αποδείξετε ότι αν οι μιγαδικοί [pic] έχουν τις εικόνες τους στο ίδιο ημιεπίπεδο μιας ευθείας που διέρχεται από την αρχή [pic], τότε ισχύει [pic].

6. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης [pic] είναι σημεία της ευθείας [pic].

7. Αν το τριώνυμο [pic] με πραγματικούς συντελεστές και [pic] δεν έχει πραγματικές ρίζες, να αποδείξετε ότι: α) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς κ και λ ισχύει [pic]. β) Για οποιουσδήποτε συζυγείς μιγαδικούς [pic] και [pic] διαφορετικούς από τις ρίζες του τριωνύμου ισχύει επίσης [pic].

8. Γνωρίζοντας ότι για τις νιοστές ρίζες της μονάδας [pic] ισχύει [pic], να αποδείξετε τις ταυτότητες: α) [pic], β) [pic].

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση: (i) Αν στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών ισχύει [pic], τότε : Α. [pic] Β. [pic] Γ. [pic] Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα. (ii) Ο αριθμός [pic] είναι: Α. Φανταστικός Β. Μηδέν Γ. Πραγματικός Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα. 2. Ποιες από τις επόμενες ισότητες αληθεύουν για κάθε μιγαδικό z : Α. [pic] Β. [pic] Γ. [pic] Δ. [pic] Ε. [pic]. 3. Σύμφωνα με τη συνθήκη που ικανοποιούν οι μιγαδικοί z και αναφέρεται στην πρώτη στήλη, να τους αντιστοιχίσετε στην ευθεία της δεύτερη στήλης που ανήκει η εικόνα τους: |Συνθήκη |Ευθεία | |A. [pic] |α. [pic] | |B. [pic] |β. [pic] | |Γ. [pic] |γ. [pic] | | |δ. [pic] | |Δ. [pic] |ε. [pic] |

4. Να αντιστοιχίσετε κάθε μιγαδικό z της πρώτης στήλης στο όρισμά του της δεύτερης στήλης:

|Μιγαδικός ( k >0 ) |Όρισμα | |Α. [pic]| α. -450| | Β. | β. 2250| |[pic] | | | Γ. [pic]| γ. | | |450 | | Δ. [pic]| δ. | | |1800 | | | ε. | | |600 | | | ζ. 1350|

5. Να βάλετε σε κύκλο τις σωστές απαντήσεις. Ό αριθμός των πραγματικών ριζών μιας πολυωνυμικής εξίσωσης 5ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές μπορεί να είναι: Α. 1 Β. 2 Γ. 3 Δ. 4 Ε. 5 [pic]

6. Να γράψετε τους μιγαδικούς που έχουν ως εικόνες τα σημεία Α, Β, Γ και Δ του διπλανού σχήματος: Α: Β: Γ: Δ:

7. Αν z είναι ο μιγαδικός που έχει ως εικόνα το Α, να αντιστοιχίσετε κάθε μιγαδικό της πρώτης στήλης στην εικόνα του που αναφέρεται στη δεύτερη στήλη και σημειώνεται στο παρακάτω σχήμα: [pic]

Μιγαδικός Εικόνα [pic] Β [pic] Γ [pic] Δ [pic] Ε [pic] Ζ Η Θ