ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Αν [pic], να αποδειχτεί ότι: α) [pic] β) [pic]. ΑΠΟΔΕΙΞΗ α) Έχουμε [pic] β) [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

2. Να λυθεί η εξίσωση [pic]. Αν [pic] είναι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής, να κατασκευαστεί εξίσωση 2ου βαθμού που να έχει ρίζες τις [pic]. ΛΥΣΗ Έχουμε [pic]. Επομένως, [pic]. Η ζητούμενη εξίσωση θα είναι η [pic]. Έχουμε [pic] και [pic] [pic]. Επομένως: [pic] και [pic] Άρα, η ζητούμενη εξίσωση είναι η: [pic].

3. Να αναλυθεί σε γινόμενο πολυωνύμων το πολυώνυμο [pic], αν γνωρίζουμε ότι έχει ρίζα το μιγαδικό αριθμό [pic]. ΛΥΣΗ Αφού το [pic] έχει ρίζα τον αριθμό [pic], θα έχει ρίζα και το συζυγή του, [pic]. Επομένως, το πολυώνυμο [pic] διαιρείται με το γινόμενο [pic], για το οποίο έχουμε [pic] [pic] [pic] [pic]. Αν κάνουμε τη διαίρεση του πολυωνύμου [pic] με το πολυώνυμο [pic], βρίσκουμε πηλίκο [pic]. Επομένως είναι [pic].

ΣΧΟΛΙΟ Γενικά, όπως αναφέρθηκε και στην εισαγωγή, κάθε πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων παραγόντων με πραγματικούς συντελεστές, όπου οι δευτεροβάθμιοι παράγοντες (αν υπάρχουν) έχουν αρνητική διακρίνουσα.