Θεώρημα του De Moivre

Αν [pic] είναι ένας μιγαδικός αριθμός σε τριγωνομετρική μορφή, σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε: [pic] [pic] Ομοίως, βρίσκουμε ότι [pic] [pic] Γενικά, ισχύει το επόμενο θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν [pic] είναι ένας μιγαδικός αριθμός σε τριγωνομετρική μορφή και [pic] είναι ένας θετικός ακέραιος, τότε [pic].

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω [pic] η ισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε. ( Για [pic] η ισότητα γίνεται [pic] ή, ισοδύναμα, [pic], που ισχύει. ¶ρα η [pic] είναι αληθής. ( Θα αποδείξουμε ότι, αν [pic] αληθής, τότε [pic] αληθής δηλαδή, αν [pic], τότε [pic]. Πράγματι, έχουμε [pic] [pic]. Άρα, η [pic] αληθεύει για όλους τους θετικούς ακεραίους [pic]. Για παράδειγμα, αν [pic], επειδή [pic], έχουμε: [pic][pic] [pic])[pic])[pic]. Το προηγούμενο θεώρημα αποδίδεται στο μαθηματικό De Moivre και γι’ αυτό φέρει το όνομά του. Το Θεώρημα του De Moivre ισχύει και όταν ο εκθέτης είναι αρνητικός ακέραιος. Πράγματι, έχουμε [pic] [pic] [pic] [pic].