ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου ν να υπολογιστεί το άθροισμα [pic]. ΛΥΣΗ Οι προσθετέοι του αθροίσματος έχουν πλήθος [pic] και είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο [pic] και λόγο επίσης [pic]. Επομένως, [pic], οπότε, λόγω της ισότητας [pic] της ευκλείδειας διαίρεσης του [pic] με το 4, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: - [pic]. Τότε [pic], οπότε [pic] - [pic]. Τότε [pic], οπότε [pic] - [pic]. Τότε [pic], οπότε [pic] - [pic]. Τότε [pic], οπότε [pic].

2. Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών [pic] στις περιπτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός [pic] είναι α) φανταστικός β) πραγματικός. ΛΥΣΗ Αν [pic], τότε: [pic] [pic] [pic]. Επομένως: α) Ο αριθμός [pic] είναι φανταστικός, αν και μόνο αν [pic], δηλαδή, αν και μόνο αν [pic] και [pic] ή, ισοδύναμα, [pic] και [pic]. Άρα, το σύνολο των εικόνων του [pic] είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο [pic] και ακτίνα [pic], με εξαίρεση το σημείο [pic]. β) Ο αριθμός [pic] είναι πραγματικός, αν και μόνο αν [pic], δηλαδή, αν και μόνο αν [pic] και [pic]. Άρα, το σύνολο των εικόνων του [pic] είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση [pic], με εξαίρεση το σημείο [pic].