Επίλυση της Εξίσωσης [pic] με [pic] και [pic]

Επειδή [pic] και [pic], η εξίσωση [pic] έχει στο σύνολο [symbol] των μιγαδικών αριθμών δύο λύσεις, τις [pic] και [pic]. Ομοίως, η εξίσωση [pic] έχει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών δύο λύσεις, τις [pic] και [pic], αφού [pic] ή [pic]. Εύκολα, όμως, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι και κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο C. Πράγματι, έστω η εξίσωση [pic], με [pic] και [pic]. Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο [pic] και τη μετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή: [pic], όπου [pic] η διακρίνουσα της εξίσωσης. Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: - [pic]. Τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: [pic] - [pic]. Τότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: [pic] - [pic]. Τότε, επειδή [pic], η εξίσωση γράφεται: [pic]. Άρα οι λύσεις της είναι: [pic], (1) οι οποίες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, η εξίσωση [pic] έχει [pic] και οι λύσεις της είναι: [pic], [pic]. Όμως, η εξίσωση [pic] έχει [pic] και οι λύσεις της είναι οι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί: [pic], [pic].

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύουν οι σχέσεις: [pic] και [pic].