Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

1.7 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

Εισαγωγή Στην προηγούμενη παράγραφο περιγράψαμε μια μέθοδο με την οποία μπορούμε να βρίσκουμε τη λύση ενός γραμμικού συστήματος. Όμως, όπως έχουμε δει στα γραμμικά συστήματα με δύο αγνώστους, είναι χρήσιμο να έχουμε και έναν τύπο, ο οποίος να εκφράζει τις λύσεις ενός γραμμικού συστήματος ως συνάρτηση των συντελεστών του. Οι τύποι που θα βρούμε γενικεύουν τους τύπους που ήδη ξέρουμε για την περίπτωση ενός γραμμικού συστήματος [pic]. Θα προχωρήσουμε στην αναζήτηση ενός τέτοιου τύπου που τα εργαλεία για την ανεύρεσή του είναι οι ορίζουσες.

Ορίζουσα ενός [pic] πίνακα Έστω ο [pic] πίνακας [pic]. Ο αριθμός [pic] λέγεται ορίζουσα του πίνακα Α και συμβολίζεται με [pic] ή με [pic]. Δηλαδή, [pic]. Επειδή η ορίζουσα αυτή αντιστοιχεί σε έναν [pic] πίνακα, λέγεται ορίζουσα 2ης τάξης. Για παράδειγμα, η ορίζουσα - του πίνακα [pic] είναι [pic] - του πίνακα [pic] είναι [pic] - του πίνακα [pic] είναι [pic].

Ορίζουσα ενός [pic] πίνακα Η ορίζουσα ενός [pic] πίνακα ορίζεται με την βοήθεια της ορίζουσας 2ης τάξης ως εξής: Έστω ο [pic] πίνακας [pic]. Ο αριθμός [pic] λέγεται ορίζουσα του πίνακα Α και συμβολίζεται με [pic] ή με [pic]. Δηλαδή [pic]. (1) Επειδή η ορίζουσα αυτή αντιστοιχεί σε έναν [pic] πίνακα, λέγεται ορίζουσα 3ης τάξης. Για παράδειγμα, αν [pic], τότε [pic] Η παράσταση (1) με την οποία ορίζεται η [pic] λέγεται ανάπτυγμα της [pic] ως προς τα στοιχεία της πρώτης γραμμής. Με εκτέλεση των πράξεων στο ανάπτυγμα αυτό έχουμε: [pic] [pic] [pic] (2) Η παράσταση (2) λέγεται ανάπτυγμα της [pic] ως προς τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής. Ομοίως, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ισχύει και [pic], (3) που λέγεται ανάπτυγμα [pic] ως προς τα στοιχεία της τρίτης γραμμής. Παρατηρούμε ότι σε καθένα από τα αναπτύγματα της [pic], κάθε στοιχείο [pic] της αντίστοιχης γραμμής πολλαπλασιάζεται με την ορίζουσα 2ης τάξης του πίνακα που προκύπτει από τον Α, αν παραλείψουμε τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου [pic]. Η ορίζουσα αυτή λέγεται ελάσσων ορίζουσα του στοιχείου [pic] και συμβολίζεται με [pic]. Παρατηρούμε επίσης ότι κάθε όρος ενός αναπτύγματος της [pic] έχει πρόσημο + ή -, ίδιο με το πρόσημο του [pic]. Το γινόμενο [pic] λέγεται αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου [pic] και συμβολίζεται με [pic]. Δηλαδή [pic]. Με τους συμβολισμούς αυτούς τα αναπτύγματα (1), (2) και (3) γράφονται: [pic] [pic] [pic]. Mε εκτέλεση των πράξεων προκύπτουν [pic] [pic] [pic] που είναι ανάπτυγμα της [pic] ως προς τα στοιχεία της 1ης, της 2ης και της 3ης στήλης αντιστοίχως.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην πράξη το ανάπτυγμα που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό μιας ορίζουσας είναι ως προς τη γραμμή ή στήλη που έχει τα περισσότερα μηδενικά. Για παράδειγμα, αν [pic], τότε [pic].

Ορίζουσα ενός [pic] πίνακα Ορίσαμε μέχρι τώρα την ορίζουσα ενός [pic] πίνακα και με τη βοήθειά της την ορίζουσα ενός [pic] πίνακα. Ορίζουμε επίσης ως ορίζουσα ενός πίνακα με ένα στοιχείο [pic], να είναι το ίδιο το στοιχείο. Γενικά, μπορούμε να ορίσουμε την ορίζουσα ν τάξης [pic] με τη βοήθεια του ορισμού της ορίζουσας [pic] τάξης. Ένας τέτοιος ορισμός λέγεται επαγωγικός.. Συγκεκριμένα, έστω ο [pic] πίνακας [pic]. Ονομάζουμε ορίζουσα του πίνακα Α και τη συμβολίζουμε με [pic] ή [pic] τον αριθμό |[pic] | όπου [pic] και [pic], η [pic] τάξης ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον Α, αν παραλείψουμε τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου [pic]. Όπως και στις ορίζουσες 3ης τάξης, η ορίζουσα [pic] λέγεται ελάσσων ορίζουσα του στοιχείου [pic] και το γινόμενο [pic] λέγεται αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου [pic]. Η παράσταση [pic] με την οποία ορίσαμε την [pic] λέγεται, όπως και στις ορίζουσες 3ης τάξης, ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά τα στοιχεία της 1ης γραμμής. Αποδεικνύεται το επόμενο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Για οποιαδήποτε γραμμή [pic] ή στήλη j ενός [pic] πίνακα Α ισχύει: (α) [pic] και (β) [pic] Η παράσταση (α) λέγεται ανάπτυγμα της ορίζουσας ως προς τα στοιχεία της [pic] γραμμής, ενώ η (β) ανάπτυγμα της ορίζουσας ως προς τα στοιχεία της j στήλης.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Είναι φανερό ότι αν τα στοιχεία μιας γραμμής ή στήλης ενός πίνακα Α είναι όλα μηδέν, τότε [pic]. 2) Αν ένας πίνακας είναι τριγωνικός άνω ή κάτω, τότε αποδεικνύεται ότι η ορίζουσά του είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου. Για παράδειγμα [pic]. 3) Αποδεικνύεται επίσης ότι, αν δύο γραμμές (δύο στήλες) ενός πίνακα είναι ίσες ή ανάλογες, τότε η ορίζουσα του πίνακα είναι ίση με μηδέν. Για παράδειγμα, [pic], αφού [pic].