Αντίστροφος ενός [pic] πίνακα

Έστω [pic] ένας [pic] πίνακας. Θα εξετάσουμε πότε αυτός αντιστρέφεται και θα βρούμε τον αντίστροφό του. Για να αντιστρέφεται ο Α, πρέπει και αρκεί να υπάρχει πίνακας [pic] τέτοιος, ώστε να ισχύει [pic] ή, ισοδύναμα, [pic] [pic] [pic] (Σ1) και [pic] (Σ2) Αρκεί, επομένως, τα συστήματα (Σ1) και (Σ2) να έχουν λύση. Τα συστήματα αυτά έχουν [pic] και [pic], [pic], [pic], [pic]. Επομένως: - Aν [pic], τότε τα συστήματα (Σ1) και (Σ2) έχουν μοναδική λύση, οπότε ο πίνακας Α αντιστρέφεται. Η λύση του (Σ1) είναι το ζεύγος [pic] με [pic] και [pic], ενώ η λύση του (Σ2) είναι το ζεύγος [pic] με [pic] και [pic]. Άρα [pic], οπότε ο αντίστροφος του Α είναι ο πίνακας [pic]. - Αν [pic], τότε ένα τουλάχιστον από τα συστήματα (Σ1) και (Σ2) είναι αδύνατο, οπότε ο πίνακας Α δεν αντιστρέφεται. Πράγματι. α) Αν [pic] ή [pic] ή [pic] ή [pic], τότε ένα τουλάχιστον από τα συστήματα (Σ1) και (Σ2) θα είναι αδύνατο. β) Αν [pic], τότε [pic], οπότε και πάλι τα δύο συστήματα θα είναι αδύνατα. Αποδείξαμε λοιπόν ότι: - O πίνακας [pic] είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν [pic]. - Ο αντίστροφος ενός πίνακα [pic], αν υπάρχει, δίνεται από τον τύπο [pic], όπου [pic]. Για παράδειγμα: α) Ο πίνακας [pic] αντιστρέφεται, γιατί [pic] και ο αντίστροφός του είναι ο [pic]. β) Ο πίνακας [pic] δεν αντιστρέφεται, γιατί [pic].