ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ

ΠΙΝΑΚΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ

Γενικά Τέσσερα εργοστάσια παραγωγής αυτοκινήτων [pic] και Δ δίνουν για το τελευταίο μοντέλο τους ως προς πέντε τεχνικά χαρακτηριστικά τις εξής πληροφορίες: Εργοστάσιο Α: Ισχύς 97 DIN, χρόνος για τη μεταβολή της ταχύτητας από 0-100 km/h 10,7 sec, τελική ταχύτητα 180 km/h, κατανάλωση στην πόλη ανά 100 km 9,5 lit, φορολογήσιμοι ίπποι 10. Εργοστάσιο Β: Ισχύς 100 DIN, χρόνος για τη μεταβολή της ταχύτητας από 0-100 km/h 12,9 sec, τελική ταχύτητα 191 km/h, κατανάλωση στην πόλη ανά 100 km 11 lit, φορολογήσιμοι ίπποι 11. Εργοστάσιο Γ: Ισχύς 45 DIN, χρόνος για τη μεταβολή της ταχύτητας από 0-100 km/h 17,9 sec, τελική ταχύτητα 140 km/h, κατανάλωση στην πόλη ανά 100 km, 7,1 lit, φορολογήσιμοι ίπποι 6. Εργοστάσιο Δ: Ισχύς 174 DIN, χρόνος για τη μεταβολή της ταχύτητας από 0-100 km/h 7,6 sec, τελική ταχύτητα 225 km/h, κατανάλωση στην πόλη ανά 100 km 12,5 lit, φορολογήσιμοι ίπποι 20. Τις πληροφορίες αυτές μπορούμε να τις παρουσιάσουμε πιο οργανωμένα ως εξής: [pic] Τα αριθμητικά δεδομένα της ορθογώνιας αυτής διάταξης, κλεισμένα μέσα σε αγκύλες, [pic] λέμε ότι σχηματίζουν έναν πίνακα με 4 γραμμές και 5 στήλες ή, συντομότερα, έναν πίνακα τύπου 4x5 ή ακόμα έναν 4x5 πίνακα. Έστω το σύστημα [pic]. Το σύστημα αυτό θα μπορούσε να παρασταθεί ως εξής: [pic] Έτσι οι συντελεστές των αγνώστων σχηματίζουν τον 3x4 πίνακα [pic] και οι συντελεστές των αγνώστων μαζί με τους σταθερούς όρους τον 3x5 πίνακα [pic]. Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ Μια διάταξη [pic] το πλήθος αριθμών σε μορφή ορθογωνίου σχήματος με μ γραμμές και ν στήλες, λέγεται πίνακας τύπου [pic] ή απλούστερα [pic] πίνακας. Τους πίνακες τους συμβολίζουμε συνήθως με κεφαλαία γράμματα [pic] κτλ. Οι αριθμοί με τους οποίους σχηματίζουμε έναν πίνακα λέγονται στοιχεία του πίνακα. Το στοιχείο ενός [pic] πίνακα Α που ανήκει στην i-γραμμή και j-στήλη συμβολίζεται με [pic]. Έτσι ο [pic] πίνακας Α γράφεται: j στήλη [pic] ή συντομογραφικά [pic], [pic], [pic]. Για παράδειγμα, ο [pic] πίνακας [pic] με [pic] έχει στοιχεία [pic], [pic], [pic] και [pic]. Επομένως, ο πίνακας αυτός γράφεται [pic]. Η ισότητα μεταξύ των πινάκων ορίζεται ως εξής:

ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο πίνακες [pic] λέμε ότι είναι ίσοι, όταν έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών, τον ίδιο αριθμό στηλών (δηλαδή αν είναι του ίδιου τύπου) και τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα. Για να δηλώσουμε ότι δύο πίνακες είναι ίσοι γράφουμε [pic] Από τον ορισμό αυτό προκύπτει ότι δύο πίνακες διαφορετικού τύπου δεν μπορεί να είναι ίσοι. Αν ένας πίνακας έχει τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών, δηλαδή είναι τύπου [pic] για κάποιο [pic], τότε ο πίνακας αυτός λέγεται τετραγωνικός πίνακας. Τα στοιχεία [pic] ενός τετραγωνικού πίνακα Α, λέμε ότι σχηματίζουν την κύρια διαγώνιο του Α. Αν τα στοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα Α που δεν βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο είναι όλα 0, τότε ο Α λέγεται διαγώνιος πίνακας. Για παράδειγμα, οι πίνακες: [pic], [pic], [pic] είναι διαγώνιοι πίνακες. Ένας πίνακας που έχει μία μόνο γραμμή, όπως ο [pic] λέγεται πίνακας γραμμή, ενώ ένας πίνακας που έχει μία μόνο στήλη, όπως ο [pic] λέγεται πίνακας στήλη. Ένας πίνακας που έχει ένα μόνο στοιχείο, όπως ο [pic] λέγεται πίνακας στοιχείο. Τέλος, ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται τριγωνικός άνω, όταν όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά και τριγωνικός κάτω, όταν όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδενικά. Για παράδειγμα, οι πίνακες [pic], [pic] είναι τριγωνικοί άνω, ενώ οι πίνακες [pic], [pic] είναι τριγωνικοί κάτω.