6.4 Περιστροφή στερεού

Κάθε στερεό σώμα, οποιουδήποτε σχήματος ή όγκου μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα που περνά από τυχαίο σημείο του. Το στερεό, π.χ., της εικόνας 6.11 περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα xx'. Όπως έχουμε συζητήσει σε προηγουμένη ενότητα, τα χαρακτηριστικά της περιστροφής αυτής είναι δύο:

• Αιτία της περιστροφής είναι κάποια ροπή δύναμης (όπως π.χ. η F).

• Τα σημεία του στέρεου έχουν κοινό μέγεθος τη γωνιακή ταχύτητα ω, αλλά διαφέρουν ως προς τη γραμμική ταχύτητα υ.

Ας εξετάσουμε μικρό κομμάτι του στέρεου (όσο μικρό μπορούμε να φανταστούμε) γύρω από το σημείο Α. Το κομμάτι έχει μάζα m1 και περιφέρεται σε κύκλο με ακτίνα r1. Ο κύκλος βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο και η δυναμική ενέργεια του κομματιού παραμένει σταθερή (όποιο επίπεδο αναφοράς και να δεχτούμε). Το κομμάτι διαθέτει κινητική ενέργεια Κ1 ίση με: [pic] ή [pic]

Εικόνα 6.11: Περιστροφή στερεού

Η αντικατάσταση: υ1= ωr1 έγινε, για να εμφανιστεί στη σχέση η γωνιακή ταχύτητα ω, κοινό μέγεθος για όλα τα σημεία του στέρεου.

Επεκτείνοντας τη διαδικασία για τα υπόλοιπα τμήματα του στερεού, βρίσκουμε: K= K1+K2+…..= [pic] Τελικά: [pic] (6.18)

Η … ατέλειωτη σειρά όρων της παρένθεσης μοιάζει να είναι πολύ σημαντική για το στερεό, επειδή σχετίζεται όχι μόνο με τη μάζα του αλλά και με τον τρόπο κατανομής της γύρω από τον άξονα περιστροφής. Η διαπίστωση αυτή μας οδήγησε στην αντικατάσταση: [pic]

Το μέγεθος Ι, γνωστό ως ροπή αδράνειας, χαρακτηρίζεται από τα παρακάτω: • Είναι μονόμετρο μέγεθος. • Έχει μονάδα το [pic] στο S.I. • Εκφράζει την αδράνεια του στερεού, όταν προσπαθούμε να το περιστρέψουμε (αντίστοιχο της μάζας για τη μεταφορική κίνηση). • Η τιμή εξαρτάται από τον άξονα περιστροφής που έχουμε επιλέξει. • Η ακριβής σχέση για τη ροπή αδράνειας εξαρτάται από το σχήμα του στερεού, όπως φαίνεται στην εικόνα 6.12. Η μαθηματική διαδικασία για την απόδειξη των σχέσεων που φαίνονται είναι πολύπλοκη και δε θα μας απασχολήσει εδώ.

Εικόνα 6.12: Σχέσεις για τη ροπή αδράνειας στερεών με γνωστά σχήματα

Προβληματισμοί: Ας μας απασχολήσουν λίγο τα χαρακτηριστικά της ροπής αδράνειας Ι και ας προσπαθήσουμε να βρούμε - βασιζόμενοι σε αυτήν - τι σημαίνουν τα παρακάτω (και αν είναι σαφή): Το σώμα Α περιστρέφεται δυσκολότερα από το σώμα Β. Η ροπή αδράνειας στέρεου είναι 10 kgm2. Η ρόδα αγωνιστικού αυτοκινήτου έχει μικρότερη ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής από την αντίστοιχη κοινού Ι.Χ. (Δεχτείτε ισοβαρείς τους δύο τροχούς).

Η ολική κινητική ενέργεια περιστροφής Κ του στέρεου μπορεί να γραφεί λοιπόν: [pic] (6.19)

Προς το παρόν ασχολούμαστε με σώμα που περιστρέφεται μόνο. (Καλό παράδειγμα είναι το γνωστό θύμα των πασχαλινών εθίμων μας, ο οβελίας. Εδώ, μάλιστα, η διαδικασία θυμίζει βαρούλκο).

Το σημαντικότερο ερώτημα προκύπτει με την παρατήρηση του παραπάνω πίνακα. Οι σχέσεις της Ι για τα στερεά αναφέρονται σε περιστροφή γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο βάρους τους Κ ("κύριος" άξονας). Τα στερεά δεν περιστρέφονται πάντα, όμως, γύρω από αυτό τον άξονα. Η σκάλα, π.χ., ανατρέπεται με περιστροφή γύρω από άξονα που περνά από το άκρο της, η καρέκλα το ίδιο κτλ. Τι κάνουμε τότε;

Υπάρχει μια χρήσιμη σχέση γνωστή ως τύπος του Steiner (ή ως θεώρημα παράλληλων αξόνων), που βοηθά να βρίσκουμε σχέση για τη ροπή αδράνειας ΙΑ ως προς άξονα που περνά από τυχαίο σημείο Α και είναι παράλληλος με αυτόν που διέρχεται από το Κ, εικόνα 6.13. Υποτίθεται ότι η αντίστοιχη σχέση για τη ροπή αδράνειας ΙΚ ως προς κύριο άξονα είναι γνωστή (σχέσεις πίνακα). Είναι: [pic] (6.19)

Εικόνα 6.13: Θεώρημα του Steiner