Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Παράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών

Για την παράσταση των πραγματικών αριθμών, εκτός από το πρόσημο και την απόλυτη τιμή, χρειάζεται να παρασταθεί και η θέση της υποδιαστολής.

Η απλούστερη παράσταση πραγματικών αριθμών είναι αυτή της σταθερής υποδιαστολής (fixed point number). Σε αυτήν ο αριθμός αποτελείται από σταθερό αριθμό δυαδικών ψηφίων και για το ακέραιο και για το κλασματικό μέρος.

Στο προηγούμενο παράδειγμα χρησιμοποιούνται 5 bit για το ακέραιο μέρος και 3 για το κλασματικό. Για την παράσταση των αριθμών αυτών ισχύουν γενικά όσα έχουν αναφερθεί και για τους προσημασμένους ακεραίους. Και στην περίπτωση αυτή, το διάστημα αριθμών που μπορεί να παρασταθεί είναι μικρό. Επειδή, λοιπόν, η παράσταση πολύ μεγάλων ή πολύ μικρών αριθμών, σύμφωνα με όσα έχουμε αναφέρει παραπάνω, είναι αδύνατη, χρησιμοποιείται μια άλλη μέθοδος παράστασης, που λέγεται μέθοδος κινητής υποδιαστολής (floating point). Η μέθοδος παράστασης των αριθμών κινητής υποδιαστολής (floating point numbers) στηρίζεται στην τυποποιημένη μορφή των αριθμών που χρησιμοποιείται στα Μαθηματικά. Στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης ένας ακέραιος ή δεκαδικός μπορεί να γραφεί με διαφορετικές μορφές, όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί:

2345 8945,67 234,5x[pic] 894,567x[pic] 23,45x[pic] 89,4567x[pic] 2,345x[pic] 8,94567x[pic] 0,2345x[pic] 0,894567x[pic] 0,02345x[pic] 0,0894567x[pic]

Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι: - υπάρχουν άπειρες μορφές εκθετικής παράστασης ενός αριθμού - όταν μετακινείται η υποδιαστολή μια θέση αριστερά, τότε αυξάνεται ο εκθέτης της βάσης κατά μία μονάδα. Το αντίθετο συμβαίνει όταν η υποδιαστολή μετακινείται μια θέση δεξιά. Η εκθετική μορφή ενός αριθμού, όπου το πρώτο μη μηδενικό ψηφίο είναι αμέσως μετά την υποδιαστολή, ονομάζεται κανονική (normalized). Στα παραπάνω παραδείγματα η κανονική μορφή είναι: [pic] και [pic] Η έννοια της εκθετικής παράστασης και της κανονικής εκθετικής μορφής επεκτείνεται και στους δυαδικούς αριθμούς. Για παράδειγμα:

110011 11001,1 x [pic] 1100,11 x [pic] 110,011 x [pic] 11,0011 x [pic] 1,10011 x [pic] 0,110011 x [pic] 0,0110011 x [pic]

Για την παράσταση των πραγματικών αριθμών στον υπολογιστή χρησιμοποιείται η κανονική τους μορφή. Έτσι ο αριθμός 110011 μπορεί να παρασταθεί με τη μορφή: [pic]

Ο αριθμός χωρίζεται σε δύο μέρη: - το πρώτο μέρος 0110011 που λέγεται συντελεστής (mantissa) και - το δεύτερο μέρος 0110 που λέγεται εκθέτης (exponent). Οι αριθμοί που παριστάνονται με τη μορφή αυτή λέγονται αριθμοί κινητής υποδιαστολής. Οι πράξεις στη μορφή αυτή γίνονται όπως και στα Μαθηματικά, δηλαδή: - στην πρόσθεση και στην αφαίρεση τροποποιούμε τους αριθμούς ώστε να έχουν τον ίδιο εκθέτη, οπότε, για να βρούμε το αποτέλεσμα, κάνουμε τις πράξεις στο κλασματικό μέρος και αφήνουμε τον ίδιο εκθέτη - στον πολλαπλασιασμό -ή τη διαίρεση- πολλαπλασιάζουμε -ή διαιρούμε τα κλασματικά μέρη και προσθέτουμε -ή αφαιρούμε- τους εκθέτες.

Θυμίζουμε ότι στην τυποποιημένη αυτή μορφή κάθε αριθμός γράφεται ως γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού μεταξύ 1 και 10 και μιας κατάλληλης δύναμης του 10. Π.χ. 300.000 = 3x[pic] 25600000 = 2,56x[pic] 0,0000006 = 6x1[pic] 0,0000000123=1,23x[pic]

Η μορφή της κινητής υποδιαστολής δίνει αποτελέσματα των διαφόρων πράξεων με μεγαλύτερη ακρίβεια απ’ ό,τι η μορφή σταθερής υποδιαστολής και χρησιμοποιείται κυρίως για την αντιμετώπιση επιστημονικών προβλημάτων.