Απόδειξη των τύπων 2.4 και 2.5

Χρησιμοποιούμε την εξίσωση που περιγράφει την κβάντωση της στροφορμής: mυr = n h (1) και το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για το ηλεκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου: k F = ma ή mυ2r = ke 2 (2) Λύνουμε την (1) ως προς υ και αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στη (2): Αντικαθιστώντας το r με rn, έχουμε: Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας n=1, βρίσκουμε την τροχιά με τη μικρότερη ακτίνα r1: Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση στη 2.6, παίρνουμε: Αν αντικαταστήσουμε στην εξίσωση 2.3 το E με En και το r με rn, παίρνουμε την ακόλουθη έκφραση για την ενέργεια του ατόμου: ή λόγω της 2.6 Επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας (2.7) Η μικρότερη τιμή της ενέργειας αντιστοιχεί σε n=1. Αντικαθιστώντας n=1 στην εξίσωση 2.7, βρίσκουμε: Αντικαθιστώντας τις τιμές των σταθερών m, k, e και h = h / 2p, υπολογίζουμε τη μικρότερη επιτρεπόμενη ακτίνα r1 και τη μικρότερη επιτρεπόμενη ενέργεια Ε1. Είναι: E1 = -13,6 eV

Η έννοια της κβάντωσης της ενέργειας είναι σημαντική, γιατί εξηγεί ότι το ηλεκτρόνιο κινείται μόνο σε ορισμένες τροχιές καθορισμένης ενέργειας και δεν κινείται σπειροειδώς πλησιάζοντας συνεχώς προς τον πυρήνα. Επίσης η κβάντωση της ενέργειας έδωσε ώθηση στην ανάπτυξη της κβαντομηχανικής. Όμως η κβάντωση της στροφορμής, σύμφωνα με το πρότυπο του Bohr, έχει ιστορική μόνο σημασία.