Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων

Για τις πιθανότητες των ενδεχομένων ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες, γνωστές ως "κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων". Οι κανόνες αυτοί θα αποδειχθούν στην περίπτωση που τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Αποδεικνύεται όμως ότι ισχύουν και στην περίπτωση που τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα.

1. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: [pic] ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν [pic] και [pic], τότε το [pic] έχει [pic] στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β δε θα ήταν ασυμβίβαστα. Δηλαδή, έχουμε [pic]. Επομένως: [pic] [pic] [pic] [pic]. [pic]. Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος (simply additive law) και ισχύει και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα. Έτσι, αν τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα θα έχουμε [pic].

2. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και [pic] ισχύει: [pic] ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή [pic], δηλαδή τα Α και [pic] είναι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχικά, σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο: [pic] [pic] [pic] [pic]. Οπότε [pic].

3. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: [pic] [pic]

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για δυο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε [pic], (1) αφού στο άθροισμα [pic] το πλήθος των στοιχείων του [pic] υπολογίζεται δυο φορές. Αν διαιρέσουμε τα μέλη της (1) με [pic] έχουμε: [pic] και επομένως [pic]. Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόμος (additive law).

|4. | Αν [pic], τότε [pic] | [pic]

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή [pic] έχουμε διαδοχικά: [pic] [pic] [pic].

5. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει [pic] [pic].

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τα ενδεχόμενα [pic] και [pic] είναι ασυμβίβαστα και [pic], έχουμε: [pic]. Άρα [pic].