Ολοκλήρωση με αντικατάσταση

Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε ολοκληρώματα που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή [pic]. Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο:

|[pic], | |όπου [pic] και [pic] |

Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα [pic] του δευτέρου μέλους υπολογίζεται ευκολότερα. Η απόδειξη του τύπου αυτού στηρίζεται στο γνωστό κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης. Πράγματι, αν F είναι μια παράγουσα της f, τότε [pic], (1) οπότε [pic] και άρα [pic] [pic] (αφού [pic]) [pic] [pic], (όπου [pic] [pic] (λόγω της (1)) Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα [pic]. Θέτουμε [pic] και [pic], οπότε το ολοκλήρωμα γράφεται: [pic][pic] [pic] [pic] [pic] [pic].