Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

- Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι: - H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο [pic]. - Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα [pic] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο [pic]. - Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [pic] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και επιπλέον ισχύει [pic] και [pic]. - Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και [pic] τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε [pic] στο [pic], ορίζουμε τη συνάρτηση [pic] η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f. H πρώτη παράγωγος της f συμβολίζεται και με [pic] που διαβάζεται "ντε εφ προς ντε χι". Για πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση [pic] θα τη συμβολίζουμε και με [pic]. Αν υποθέσουμε ότι το [pic] είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της [pic], αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με [pic]. Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της f, με [pic], και συμβολίζεται με [pic]. Δηλαδή [pic], [pic]. Η εύρεση της παραγώγου συνάρτησης, με βάση τον ορισμό που δώσαμε, δεν είναι πάντα εύκολη. Στη συνέχεια θα δούμε μερικές βασικές περιπτώσεις παραγώγισης συναρτήσεων, που θα τις χρησιμοποιούμε στην εύρεση παραγώγου συναρτήσεων (αντί να χρησιμοποιούμε τον ορισμό κάθε φορά).

Παράγωγος μερικών βασικών συναρτήσεων - Έστω η σταθερή συνάρτηση [pic], [pic]. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [symbol] και ισχύει [pic], δηλαδή

|[pic] |

Πράγματι, αν [pic] είναι ένα σημείο του [pic], τότε για [pic] ισχύει: [pic]. Επομένως, [pic], δηλαδή [pic]. - Έστω η συνάρτηση [pic]. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [symbol] και ισχύει [pic], δηλαδή

|[pic] |

Πράγματι, αν [pic] είναι ένα σημείο του [pic], τότε για [pic] ισχύει: [pic]. Επομένως, [pic], δηλαδή [pic]. - Έστω η συνάρτηση [pic], [pic]. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [symbol] και ισχύει [pic], δηλαδή

|[pic] |

Πράγματι, αν [pic] είναι ένα σημείο του [symbol], τότε για [pic] ισχύει: [pic], οπότε [pic], δηλαδή [pic]. - Έστω η συνάρτηση [pic]. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και ισχύει [pic], δηλαδή

|[pic] |

Πράγματι, αν [pic] είναι ένα σημείο του [pic], τότε για [pic] ισχύει: [pic], οπότε [pic], δηλαδή [pic]. Όπως είδαμε στην παράγραφο 3.1 η [pic] δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.

- Έστω συνάρτηση [pic]. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [symbol] και ισχύει [pic], δηλαδή

|[pic] |

Πράγματι, για κάθε [pic] και [pic] ισχύει [pic] [pic]. Επειδή [pic] και [pic], έχουμε [pic]. Δηλαδή, [pic]. - Έστω η συνάρτηση [pic]. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [symbol] και ισχύει [pic], δηλαδή

|[pic] |

Πράγματι, για κάθε [pic] και [pic] ισχύει: [pic] [pic], οπότε [pic] [pic]. Δηλαδή, [pic].

ΣΧΟΛΙΟ Τα όρια [pic], [pic], τα οποία χρησιμοποιήσαμε για να υπολογίσουμε την παράγωγο των συναρτήσεων [pic], [pic] είναι η παράγωγος στο [pic] των συναρτήσεων [pic] αντιστοίχως, αφού [pic] [pic]. - Έστω η συνάρτηση [pic]. Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο [symbol] και ισχύει [pic], δηλαδή

|[pic] |

- Έστω η συνάρτηση [pic]. Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και ισχύει [pic], δηλαδή |[pic] |