Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Κατακόρυφη εφαπτομένη

[pic] - Ας δούμε, τώρα, αν μπορούμε να ορίσουμε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας συνεχούς συνάρτησης f σ’ ένα σημείο της [pic], όταν η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο [pic]. - Έστω για παράδειγμα η συνάρτηση [pic] (Σχ. 10). Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο 0, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό, αφού [pic]. Παρατηρούμε όμως ότι, αν [pic], [pic], είναι ένα σημείο της [pic], τότε, καθώς το x τείνει στο 0, η τέμνουσα ΟΜ φαίνεται να παίρνει ως οριακή θέση την κατακόρυφη ευθεία που περνάει από το Ο, δηλαδή τείνει να συμπέσει με τον άξονα [pic]. Στην περίπτωση αυτή ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο [pic] ορίζουμε την κατακόρυφη ευθεία [pic]. [pic]

- Έστω τώρα και η συνάρτηση [pic]. (Σχ. 11) Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο 0, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό, αφού [pic] και [pic]. Παρατηρούμε όμως και εδώ ότι, αν [pic], [pic], είναι ένα σημείο της [pic], τότε, καθώς το x τείνει στο 0, η τέμνουσα ΟΜ τείνει να συμπέσει με τον άξονα [pic]. Στην περίπτωση αυτή ως εφαπτομένη της [pic] στο [pic] ορίζουμε την κατακόρυφη ευθεία [pic].

Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [pic] και ισχύει μια από τις παρακάτω συνθήκες: α) [pic] (ή [pic] β) [pic] και [pic], γ) [pic] και [pic], τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της [pic] στο σημείο [pic] την κατακόρυφη ευθεία [pic]. Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic] [pic](Σχ. 12) δέχεται στο σημείο της [pic] κατακόρυφη εφαπτομένη, την [pic], αφού είναι συνεχής στο 0 και ισχύει [pic][pic] [pic] - Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο [pic] και δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του παραπάνω ορισμού, τότε δεν ορίζουμε εφαπτομένη της [pic] στο σημείο [pic]. Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic], δεν έχει εφαπτομένη στο [pic], αφού [pic], ενώ [pic].