Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Αντίστροφη συνάρτηση

[pic] - Έστω μια συνάρτηση [pic]. Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι [pic], τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, [pic], της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο x του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει [pic]. Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση [pic] με την οποία κάθε [pic] αντιστοιχίζεται στο μοναδικό [pic] για το οποίο ισχύει [pic]. Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: - έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών [pic] της f, - έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και - ισχύει η ισοδυναμία: [pic]. [pic] Αυτό σημαίνει ότι, αν η f αντιστοιχίζει το x στο y, τότε η g αντιστοιχίζει το y στο x και αντιστρόφως. Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f. Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με [pic]. Επομένως έχουμε [pic] οπότε [pic] και [pic]. [pic] Για παράδειγμα, έστω η εκθετική συνάρτηση [pic]. Όπως είναι γνωστό η συνάρτηση αυτή είναι [pic] με πεδίο ορισμού το [pic] και σύνολο τιμών το [pic]. Επομένως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση [pic] της f. Η συνάρτηση αυτή, σύμφωνα με όσα είπαμε προηγουμένως, - έχει πεδίο ορισμού το [pic] - έχει σύνολο τιμών το [pic] και - αντιστοιχίζει κάθε [pic] στο μοναδικό [pic] για το οποίο ισχύει [pic]. Επειδή όμως [pic] θα είναι [pic]. Επομένως, η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης [pic], [pic], είναι η λογαριθμική συνάρτηση [pic]. Συνεπώς [pic] και [pic] [pic]

- Ας πάρουμε τώρα μια [pic] συνάρτηση f και ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις C και [pic] των f και της [pic] στο ίδιο σύστημα αξόνων (Σχ. 37). Επειδή [pic], αν ένα σημείο [pic] ανήκει στη γραφική παράσταση C της f , τότε το σημείο [pic] θα ανήκει στη γραφική παράσταση [pic] της [pic] και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες [pic] και [pic]. Επομένως: Οι γραφικές παραστάσεις C και [pic] των συναρτήσεων f και [pic] είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία [pic] που διχοτομεί τις γωνίες [pic] και [pic]. Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων [pic] και [pic], [pic], είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία [pic].