Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Τριγωνομετρική Μορφή Γινομένου Μιγαδικών

Αν [pic] και [pic] είναι οι τριγωνομετρικές μορφές δύο μιγαδικών αριθμών [pic], τότε για το γινόμενό τους έχουμε: [pic] [pic] [pic] [pic]. Ομοίως, για το πηλίκο τους [pic], έχουμε: [pic] [pic] [pic]. Αποδείξαμε λοιπόν ότι: Αν [pic] και [pic] είναι δυο μιγαδικοί σε τριγωνομετρική μορφή, τότε [pic] [pic]. Για παράδειγμα, αν [pic] και [pic], τότε έχουμε: [pic] και [pic] [pic]. Από τις τριγωνομετρικές μορφές του γινομένου και του πηλίκου μιγαδικών προκύπτουν οι ιδιότητες [pic] και [pic], τις οποίες έχουμε συναντήσει και στην § 2.3. Η γεωμετρική ερμηνεία του γινομένου και του πηλίκου δύο μιγαδικών φαίνεται στα παρακάτω σχήματα: [pic] [pic] Σύμφωνα με τα παραπάνω: - Ο πολλαπλασιασμός του μιγαδικού [pic] με το μιγαδικό [pic] σημαίνει στροφή της διανυσματικής ακτίνας του [pic] κατά γωνία [pic] και μετά πολλαπλασιασμό της με [pic] (Σχ. 12). Επομένως, ο πολλαπλασιασμός ενός μιγαδικού z με το μιγαδικό [pic] στρέφει μόνο τη διανυσματική ακτίνα του [pic] κατά γωνία [pic], αφού [pic]. Ειδικότερα, ο πολλαπλασιασμός του [pic] με [pic] στρέφει τη διανυσματική ακτίνα του [pic] κατά γωνία [pic], αφού [pic]. - Η διαίρεση του μιγαδικού [pic] με το μιγαδικό [pic] σημαίνει στροφή της διανυσματικής ακτίνας του [pic] κατά γωνία [pic] και μετά πολλαπλασιασμό της με [pic] (Σχ. 13).