2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

[pic] Έστω [pic] η εικόνα του μιγαδικού [pic] στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του [pic] την απόσταση του [pic] από την αρχή [pic], δηλαδή [pic][pic] Για παράδειγμα, [pic]. Όταν ο μιγαδικός [pic] είναι της μορφής [pic], τότε [pic], που είναι η γνωστή μας απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού x. Αν [pic], τότε [pic] και [pic]. Επομένως,

|- [pic] | |- [pic] |

Οι επόμενες ιδιότητες αναφέρονται στις σχέσεις που συνδέουν το γινόμενο και το πηλίκο μιγαδικών με τα μέτρα τους και είναι ίδιες με τις αντίστοιχες ιδιότητες των απόλυτων τιμών πραγματικών αριθμών. Αν [pic] είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε

- [pic] - [pic]

Πράγματι, έχουμε: [pic] [pic] [pic] και, επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική. Ανάλογα αποδεικνύεται και η δεύτερη ιδιότητα. Γενικά, αποδεικνύεται ότι [pic] [pic] και ειδικότερα [pic]. Τέλος, από τη γνωστή μας τριγωνική ανισότητα και από τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος [pic] και της διαφοράς [pic] δύο μιγαδικών προκύπτει ότι: [pic] Επίσης, είναι φανερό ότι το μέτρο του διανύσματος [pic] είναι ίσο με το μέτρο του διανύσματος [pic]. Επομένως: "Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους". Δηλαδή: [pic] [pic] Έτσι, για παράδειγμα, η εξίσωση [pic] επαληθεύεται μόνο από τους μιγαδικούς [pic] που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να απέχουν από την εικόνα του μιγαδικού [pic], δηλαδή από το σημείο [pic], απόσταση 3 μονάδες. Επομένως, η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο [pic] και ακτίνα [pic]. Γενικά, η εξίσωση [pic] [pic] παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο [pic] και ακτίνα ρ. Επίσης, η εξίσωση [pic] επαληθεύεται μόνο από τους μιγαδικούς [pic] που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να ισαπέχουν από τις εικόνες των μιγαδικών [pic] και [pic], δηλαδή από τα σημεία [pic] και [pic]. Επομένως, η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος [pic]. Γενικά, η εξίσωση [pic] παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία [pic] και [pic].