Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

2.7.2 Άλγεβρα Boole

Ο πρώτος που διατύπωσε τους βασικούς κανόνες με τους οποίους οι λογικές προτάσεις μπορούν να παρουσιαστούν με μαθηματικά σύμβολα, ήταν ο Άγγλος μαθηματικός George Boole στην εργασία του "The Mathematical Analysis of Logic - Η Μαθηματική Ανάλυση της Λογικής", το 1847. Οι κανόνες αυτοί αποτελούν τμήμα της Άλγεβρας Λογικής - ή Άλγεβρας Boole προς τιμήν του μεγάλου αυτού μαθηματικού- και χρησιμοποιούνται για να επιλύουμε λογικά προβλήματα. Στην Άλγεβρα Boole υπάρχουν μόνο δύο είδη προτάσεων, αυτές που είναι αληθείς και αυτές που είναι ψευδείς. Δηλαδή οι μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στην άλγεβρα αυτή μπορούν να πάρουν μόνο δύο τιμές. Στις τιμές αυτές μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τις δυάδες:

0 Ναι (Ν) Αληθής (Α) Yes (Y) True (T) 1 Όχι (Ο) Ψευδής (Ψ) No (N) False (F)

Επίσης στην Άλγεβρα Boole ορίζονται και οι λογικές σταθερές. Λογική σταθερά ονομάζεται μια πρόταση που είναι πάντοτε αληθής ή πάντοτε ψευδής και διαφέρει από τη λογική μεταβλητή, η οποία είναι μια πρόταση που μπορεί να είναι άλλοτε αληθής και άλλοτε ψευδής. Παραδείγματα: - Μετά τον Ιούνιο ακολουθεί ο Ιούλιος. - Λογική σταθερά, αληθής, γιατί ισχύει πάντοτε. - Η προηγούμενη από την Παρασκευή μέρα ονομάζεται Σάββατο. - Λογική σταθερά, ψευδής, γιατί δεν ισχύει. - Ο μονοψήφιος φυσικός αριθμός χ είναι μεγαλύτερος από το 6. Λογική μεταβλητή, γιατί άλλοτε είναι αληθής, όταν x=7 ή 8 ή 9 και άλλοτε ψευδής, όταν ο x παίρνει τις τιμές 0,1,2,3,4,5,6. Ο Boole, μετά τις λογικές μεταβλητές και σταθερές, όρισε και τους κανόνες που καθορίζουν τις βασικές λογικές πράξεις. Για να ορίσει τις πράξεις αυτές, χρησιμοποίησε πίνακες στους οποίους περιλαμβάνονται όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί των τιμών που μπορούν να πάρουν οι λογικές μεταβλητές καθώς και τα αποτελέσματα που προκύπτουν από αυτούς τους συνδυασμούς. Στα επόμενα βλέπουμε τις βασικές πράξεις της Άλγεβρας Boole.

Άρνηση - NOT Με την εφαρμογή της άρνησης σε μια λογική πρόταση αντιστρέφεται η αλήθεια των τιμών της, δηλαδή το 1 μετατρέπεται σε 0 και το 0 σε 1. Για παράδειγμα: Η πράξη αυτή λέγεται και αντιστροφή ή συμπλήρωμα και συμβολίζεται με [pic].

Σήμερα θα βρέξει Σήμερα δεν θα βρέξει A NOT A

Πίνακας αλήθειας A NOT A αληθής ψευδής ψευδής αληθής

Σύζευξη – AND Με την πράξη της σύζευξης συνθέτουμε δύο προτάσεις με τη λέξη "και", οπότε σχηματίζεται μια νέα πρόταση, η οποία είναι αληθής μόνο όταν και οι δύο αρχικές είναι αληθείς. Π.χ.

A B A AND B Το 12 διαιρείται από το 6 Το 4 είναι διαιρέτης του 8 Το 12 διαιρείται από το 6 και το 4 είναι διαιρέτης του 8

Πίνακας αλήθειας A B A AND B αληθής αληθής αληθής αληθής ψευδής ψευδής ψευδής αληθής ψευδής ψευδής ψευδής ψευδής

Η πράξη αυτή λέγεται και λογικός πολλαπλασιασμός και συμβολίζεται με [pic].

Διάζευξη - OR Με την πράξη της διάζευξης συνθέτουμε δύο προτάσεις με τη λέξη "ή", οπότε σχηματίζεται μια νέα πρόταση, η οποία είναι αληθής όταν τουλάχιστον η μία από τις δύο αρχικές είναι αληθής. Π.χ.

A B A OR B Το 12 διαιρείται από το 6 Το 12 διαιρείται από το 5 Το 12 διαιρείται από το 6 ή το 12 διαιρείται από το 5

Πίνακας αλήθειας A B A OR B αληθής αληθής αληθής αληθής ψευδής αληθής ψευδής αληθής αληθής ψευδής ψευδής ψευδής

Η πράξη αυτή λέγεται και λογική πρόσθεση και συμβολίζεται με A + B.

Αποκλειστική διάζευξη - XOR Με την πράξη της αποκλειστικής διάζευξης συνθέτουμε δύο προτάσεις βάζοντας το διαζευκτικό "είτε" μπροστά σε καθεμία, οπότε σχηματίζεται μια νέα, η οποία είναι αληθής μόνο όταν η μία από τις αρχικές είναι αληθής και η άλλη ψευδής.

A B A ΧOR B Το 12 διαιρείται από το 6 Το 12 διαιρείται από το 5 Είτε το 12 διαιρείται από το 6 είτε το 12 διαιρείται από το 5

Πίνακας αλήθειας A B A XOR B αληθής αληθής ψευδής αληθής ψευδής αληθής ψευδής αληθής αληθής ψευδής ψευδής ψευδής

Η πράξη αυτή συμβολίζεται με A [pic] B. Οι πράξεις σύζευξη, διάζευξη και αποκλειστική διάζευξη, εφαρμόζονται και για περισσότερες από δύο λογικές μεταβλητές. Οι συναρτήσεις που δέχονται ως είσοδο λογικές μεταβλητές και δίνουν ως έξοδο το αποτέλεσμα λογικών πράξεων καλούνται λογικές συναρτήσεις. Παραδείγματα λογικών συναρτήσεων: [pic] [pic]