Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

Κατανομή κατά Maxwell – Boltzmann (Μάξγουελ - Μπόλτζμαν)

Οι Maxwell και Boltzmann γύρω στο 1860, πολύ πριν γίνει εφικτό να μετρηθούν πειραματικά οι ταχύτητες των μορίων, υπολόγισαν θεωρητικά πώς κατανέμονται τα μόρια ενός αερίου στις διάφορες ταχύτητες.

Στο σχήμα 1.12 παριστάνεται γραφικά η συνάρτηση dN/dυ=f(υ) των Maxwell και Boltzmann για Ν=105 μόρια αζώτου στις θερμοκρασίες 300 Κ και 900 Κ.

Σχ. 1.12

Οι ταχύτητες καλύπτουν ευρεία περιοχή. Η συνάρτηση dN/dυ τείνει στο μηδέν όταν [pic] και όταν [pic]. Η ταχύτητα που αντιστοιχεί στο μέγιστο της καμπύλης είναι η πιο πιθανή ταχύτητα και συμβολίζεται με υπ. Δύο άλλες ταχύτητες που παρουσιάζουν ενδιαφέρον είναι η μέση ταχύτητα [pic] και η ενεργός ταχύτητα υεν . Η μέση ταχύτητα [pic]είναι η μέση τιμή των ταχυτήτων των μορίων του αερίου. Δηλαδή αν οι ταχύτητες των μορίων είναι υ1, υ2, ….. και ο αριθμός των μορίων Ν [pic] Η ενεργός ταχύτητα είναι [pic]

Εικ. 1.14 Ludwig Boltzmann (1844-1906) Αυστριακός θεωρητικός φυσικός. Η συνεισφορά του στην κινητική θεωρία και στη στατιστική μηχανική υπήρξε μεγάλη.

Συχνά, σε διάφορες κατανομές, η μέση τιμή ενός μεγέθους ταυτίζεται με την πιθανότερη τιμή του μεγέθους. Στην κατανομή Maxwell-Boltzmann η [pic] είναι μεγαλύτερη της υπ γιατί προβλέπονται μόρια, έστω και λίγα, με πολύ μεγάλες ταχύτητες (δεν υπάρχει άνω όριο στις ταχύτητες των μορίων). Όσον αφορά τη υεν αποδεικνύεται μαθηματικά ότι η ενεργός τιμή είναι μεγαλύτερη από τη μέση τιμή (βλέπε ένθετο στη σελίδα 32). Έτσι μεταξύ των τριών ταχυτήτων που προαναφέραμε ισχύει υπ

Αν το τμήμα που έχει κίτρινο χρώμα μπορεί να θεωρηθεί παραλληλόγραμμο -και μπορεί να θεωρηθεί αν το dυ είναι απειροστά μικρό-τότε το εμβαδόν του είναι: dυ * dN/dυ = dN δηλαδή δίνει τον αριθμό dN των μορίων που έχουν ταχύτητες από υ έως υ+dυ. Το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη και τον άξονα των υ δίνει το συνολικό αριθμό των μορίων του αερίου.

Βλέπουμε ότι όταν η θερμοκρασία του αερίου αυξάνεται η καμπύλη μετατοπίζεται προς τα δεξιά και η κορυφή της χαμηλώνει. Αυτό συμβαίνει γιατί όσο αυξάνεται η θερμοκρασία ο αριθμός των μορίων που έχουν ταχύτητα μεγαλύτερη από μία δεδομένη τιμή αυξάνεται, η μετατόπιση όμως της καμπύλης δεξιότερα διευρύνει την βάση της και, καθώς το εμβαδόν που περικλείει παραμένει αμετάβλητο (συνολικός αριθμός μορίων), η κορυφή της χαμηλώνει.