2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

Εισαγωγή

Εκτός από τους στατιστικούς πίνακες και τα διαγράμματα υπάρχουν και αριθμητικά μέτρα με τα οποία μπορούμε να περιγράψουμε με συντομία μια κατανομή συχνοτήτων. Η γνώση των μέτρων αυτών διευκολύνει και την παραπέρα στατιστική επεξεργασία των δεδομένων. Έστω, για παράδειγμα, ένας καθηγητής ο οποίος, για να συγκρίνει δύο διαφορετικά τμήματα Α και Β της ίδιας τάξης ως προς την επίδοσή τους σε ένα μάθημα, πήρε τυχαία 10 μαθητές από κάθε τμήμα. Η βαθμολογία τους στο μάθημα αυτό ήταν: Τμήμα Α: 13 13 14 15 15 15 15 16 16 18 Τμήμα Β: 10 13 14 14 15 15 15 16 18 20. Τα διαγράμματα σχετικών συχνοτήτων δίνονται στα σχήματα 11(α), (β) . [pic] [pic]

(α)

(β)

Παρατηρούμε ότι η βαθμολογία και των δύο τμημάτων είναι συγκεντρωμένη γύρω στο 15, αλλά το δεύτερο τμήμα παρουσιάζει μεγαλύτερη διασπορά βαθμών από το πρώτο. Δηλαδή, οι βαθμοί του Β΄ τμήματος είναι περισσότερο διασκορπισμένοι γύρω από μια "κεντρική" τιμή. Οι έννοιες "κεντρική τιμή" και "διασπορά των παρατηρήσεων" μας δίνουν το ερέθισμα για έναν ακόμα πιο σύντομο τρόπο περιγραφής της κατανομής ενός συνόλου δεδομένων. Για να ορίσουμε δηλαδή κάποια μέτρα (αριθμητικά μεγέθη), που να μας δίνουν α) τη θέση του "κέντρου" των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα και β) τη διασπορά των παρατηρήσεων, δηλαδή πόσο αυτές εκτείνονται γύρω από το "κέντρο" τους. Τα πρώτα τα καλούμε μέτρα θέσης της κατανομής (location measures), ενώ τα δεύτερα μέτρα διασποράς ή μέτρα μεταβλητότητας (measures of variability). Εκτός από τα μέτρα θέσης και διασποράς μιας κατανομής πολλές φορές είναι απαραίτητος και ο προσδιορισμός κάποιων άλλων μέτρων, που καθορίζουν τη μορφή της κατανομής. Κατά πόσο δηλαδή η αντίστοιχη καμπύλη συχνοτήτων είναι συμμετρική ή όχι ως προς την ευθεία [pic], για δεδομένο σημείο [pic] του άξονα [pic]. Τα μέτρα αυτά, που συνήθως εκφράζονται σε συνάρτηση με τα μέτρα θέσης και διασποράς, καλούνται μέτρα ασυμμετρίας (measures of skewness). [pic] Υπολογίζοντας από ένα σύνολο δεδομένων κάποια από τα ανωτέρω μέτρα, μπορούμε να έχουμε μια σύντομη περιγραφή της μορφής της καμπύλης συχνοτήτων. Στο σχήμα 12 οι καμπύλες συχνοτήτων Α και Β είναι συμμετρικές με το ίδιο "κέντρο" [pic], αλλά η Β έχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από την Α. Οι καμπύλες Γ και Δ είναι ασύμμετρες, με τη Γ όπως λέμε να παρουσιάζει θετική ασυμμετρία και τη Δ αρνητική ασυμμετρία. Το "κέντρο" της Γ είναι αριστερότερα του [pic], ενώ της Δ είναι δεξιότερα του [pic]. Η Δ παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Γ.