Μονοτονία - Ακρότατα Συνάρτησης

[pic]

- Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης [pic], [pic] προκύπτει αμέσως ότι για δύο οποιαδήποτε σημεία [pic] του διαστήματος [pic] με [pic] είναι [pic]. Αυτό το εκφράζουμε λέγοντας ότι η συνάρτηση [pic] είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [pic]. Το ίδιο συμβαίνει και στο διάστημα [pic]. Όμως για δύο οποιαδήποτε σημεία [pic] του διαστήματος [pic] με [pic], παρατηρούμε ότι [pic]. Λέμε σ' αυτή την περίπτωση ότι η συνάρτηση [pic] είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [pic]. Γενικά: Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία [pic] με [pic] ισχύει [pic], και γνησίως φθίνουσα στο Δ, όταν για οποιαδήποτε σημεία [pic] με [pic] ισχύει [pic].

Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη.

- Ακόμη, για την παραπάνω συνάρτηση παρατηρούμε ότι για κάθε [pic] είναι [pic] και [pic]. Δηλαδή, όπως λέμε, η συνάρτηση [pic] έχει ολικό μέγιστο (maximum) για [pic] και ολικό ελάχιστο (minimum) για [pic]. [pic]

Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g του σχήματος 4 προκύπτει ότι για [pic] η τιμή της [pic] είναι μικρότερη από τις τιμές της g σε όλα τα x που ανήκουν σε ένα ανοικτό διάστημα το οποίο περιέχει το [pic], ή, όπως λέμε σε μια περιοχή του [pic]. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση g έχει στο σημείο [pic] τοπικό ελάχιστο. Το ίδιο συμβαίνει και για [pic]. Οι τιμές [pic] και [pic] λέγονται τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης. Επίσης, για [pic] η τιμή [pic] είναι μεγαλύτερη από τις τιμές της g σε όλα τα x που ανήκουν σε μια περιοχή του [pic]. Λέμε ότι η συνάρτηση g έχει στο σημείο [pic] τοπικό μέγιστο. Το ίδιο συμβαίνει και για [pic]. Οι τιμές [pic] και [pic] λέγονται τοπικά μέγιστα της συνάρτησης. Παρατηρούμε ότι ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο. Για παράδειγμα, το τοπικό ελάχιστο [pic] είναι μεγαλύτερο από το τοπικό μέγιστο [pic]. Γενικά: Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει: Τοπικό μέγιστο στο [pic], όταν [pic] για κάθε x σε μια περιοχή του [pic], και τοπικό ελάχιστο στο [pic], όταν [pic] για κάθε x σε μια περιοχή του [pic].

Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συνάρτησης, τοπικά ή ολικά, λέγονται ακρότατα της συνάρτησης.