1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ορισμός Συνάρτησης

Είδαμε σε προηγούμενες τάξεις ότι συνάρτηση (function) είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. [pic] Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις στις οποίες το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης, είναι υποσύνολο του συνόλου R των πραγματικών αριθμών, ενώ το Β συμπίπτει με το R. Οι συναρτήσεις αυτές λέγονται πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής και τις οποίες στο εξής θα τις λέμε απλώς συναρτήσεις. Η συνάρτηση συμβολίζεται συνήθως με ένα από τα μικρά γράμματα f, g, h, φ, σ κτλ. του λατινικού ή του ελληνικού αλφαβήτου. Έστω λοιπόν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Αν με τη συνάρτηση αυτή το [pic] αντιστοιχίζεται στο [pic], τότε γράφουμε [pic] και διαβάζουμε "y ίσον f του x". Το [pic] λέγεται τιμή της f στο x. Το γράμμα x, που συμβολίζει οποιοδήποτε στοιχείο του Α, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y, που παριστάνει την τιμή της συνάρτησης στο x και εξαρτάται από την τιμή του x, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Σε μια συνάρτηση συνήθως η τιμή της εκφράζεται με έναν αλγεβρικό τύπο, για παράδειγμα [pic]. Σ' αυτή την περίπτωση λέμε: "η συνάρτηση f με [pic]" ή "η συνάρτηση [pic]" ή "η συνάρτηση [pic]" ή, απλούστερα, " η συνάρτηση [pic]". Όταν το [pic] εκφράζεται μόνο με έναν αλγεβρικό τύπο, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το "ευρύτερο" υποσύνολο του R στο οποίο το [pic] έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Έτσι, η παραπάνω συνάρτηση [pic] έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο λύσεων της ανίσωσης [pic], δηλαδή το διάστημα [pic], η συνάρτηση [pic] έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο [pic], δηλαδή το R χωρίς το 2, ενώ η συνάρτηση [pic] έχει ως πεδίο ορισμού ολόκληρο το σύνολο R των πραγματικών αριθμών.

ΣΧΟΛΙΟ Αν και συνήθως χρησιμοποιούμε το γράμμα f για το συμβολισμό μιας συνάρτησης και τα γράμματα x και y για το συμβολισμό της ανεξάρτητης και της εξαρτημένης μεταβλητής αντιστοίχως, ωστόσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και άλλα γράμματα. Έτσι, για παράδειγμα, οι τύποι [pic] και [pic] ορίζουν την ίδια συνάρτηση.