1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης είναι γνωστή από προηγούμενες τάξεις. Στην παράγραφο αυτή υπενθυμίζουμε τον ορισμό της πραγματικής συνάρτησης με πεδίο ορισμού ένα υποσύνολο του [pic], επαναλαμβάνουμε γνωστές έννοιες και τέλος ορίζουμε πράξεις μεταξύ των πραγματικών συναρτήσεων.

ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του [pic]. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο [pic] αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με [pic]. Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: [pic] [pic]. - Το γράμμα x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. - Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f συνήθως συμβολίζεται με [pic]. - Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα [pic], λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με [pic]. Είναι δηλαδή: [pic] για κάποιο [pic].

ΠΡΟΣΟΧΗ Στα επόμενα και σε όλη την έκταση του βιβλίου : - Θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων. - Όταν θα λέμε ότι "Η συνάρτηση f είναι ορισμένη σ’ ένα σύνολο Β", θα εννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Στην περίπτωση αυτή με [pic] θα συμβολίζουμε το σύνολο των τιμών της f σε κάθε [pic]. Είναι δηλαδή: [pic] για κάποιο [pic].

Συντομογραφία συνάρτησης Είδαμε παραπάνω ότι για να οριστεί μια συνάρτηση, f αρκεί να δοθούν δύο στοιχεία: - το πεδίο ορισμού της και - η τιμή της, [pic], για κάθε x του πεδίου ορισμού της. Συνήθως, όμως, αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση f δίνοντας μόνο τον τύπο με τον οποίο εκφράζεται το [pic]. Σε μια τέτοια περίπτωση θα θεωρούμε συμβατικά ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών x, για τους οποίους το [pic] έχει νόημα. Έτσι, για παράδειγμα, αντί να λέμε "δίνεται η συνάρτηση [pic], με [pic]" θα λέμε "δίνεται η συνάρτηση f με τύπο [pic]" ή, πιο απλά, "δίνεται η συνάρτηση [pic]", ή "δίνεται η συνάρτηση [pic]".