Διδακτικά Βιβλία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου

Αναζήτηση

Βρες
Εμφάνιση

ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ

1 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών

Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο [symbol] των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται με τα σημεία ενός άξονα, του άξονα των πραγματικών αριθμών. (Σχ. 1) [pic] Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή [pic], όπου α, β ακέραιοι με [pic]. Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με [symbol]. Είναι, δηλαδή, [pic]. Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των ακέραιων αριθμών είναι το [pic], ενώ το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι το [pic] [pic]. Για τα σύνολα [pic] και [symbol] ισχύει: [pic]. Τα σύνολα [pic] και [pic] τα συμβολίζουμε συντομότερα με [pic], [pic], [pic] και [pic] αντιστοίχως.

Πράξεις και διάταξη στο [pic] Στο σύνολο [pic] των πραγματικών αριθμών ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με τη βοήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Οι ιδιότητες των πράξεων αυτών είναι γνωστές από προηγούμενες τάξεις. Στη συνέχεια ορίστηκε η έννοια της διάταξης, οι σπουδαιότερες ιδιότητες της οποίας είναι οι: 1) Αν [pic] και [pic], τότε [pic] 2) [pic] 3) [pic]. 4) [pic] 5) Αν [pic] και [pic], τότε ισχύει η ισοδυναμία: [pic] 6) [pic] 7) Αν [pic], τότε ισχύει η ισοδυναμία [pic].

Διαστήματα πραγματικών αριθμών [pic] - Αν [pic] με [pic], τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α, β καθένα από τα παρακάτω σύνολα: [pic] ανοικτό διάστημα [pic] κλειστό διάστημα [pic]κλειστό-ανοικτό διάστημα [pic]ανοικτό-κλειστό διάστημα. [pic] - Αν [pic], τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα από τα παρακάτω σύνολα: [pic] [pic] [pic] [pic] Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο [pic] το συμβολίζουμε με [pic]. Τα σημεία ενός διαστήματος Δ, που είναι διαφορετικά από τα άκρα του, λέγονται εσωτερικά σημεία του Δ.

Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, που συμβολίζεται με [pic], ορίζεται ως εξής:

|[pic] |

Γεωμετρικά, η απόλυτη τιμή του α παριστάνει την απόσταση του αριθμού α από το μηδέν, [pic] ενώ η απόλυτη τιμή του [pic] παριστάνει την απόσταση των αριθμών α και β. [pic] Μερικές από τις βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιμής είναι οι εξής: 1) [pic] 2) [pic] 3) [pic] 4) [pic] 5) [pic] 6) [pic], [pic]