Αντιστρέψιμοι πίνακες

- Γνωρίζουμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό α με [pic] υπάρχει ο αντίστροφός του, που συμβολίζεται με [pic] ή [pic], για τον οποίο ισχύει [pic]. Είναι λογικό τώρα να ρωτήσουμε: "Αν δοθεί ένας πίνακας Α μπορούμε να βρούμε έναν πίνακα Β τέτοιον ώστε να ισχύει [pic];" Σύμφωνα με τον πολλαπλασιασμό που ορίσαμε μια τέτοια ερώτηση έχει νόημα μόνο αν ο Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας. Οδηγούμαστε έτσι στον εξής ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένας τετραγωνικός πίνακας τύπου [pic]. Αν υπάρχει τετραγωνικός πίνακας Β τύπου [pic], τέτοιος ώστε να ισχύει [pic], τότε ο Α λέγεται αντιστρέψιμος πίνακας και ο Β αντίστροφος του Α. Αν ένας πίνακας Α έχει αντίστροφο, τότε αποδεικνύεται ότι αυτός είναι μοναδικός και συμβολίζεται με [pic]. Έτσι έχουμε:

|[pic] |

Για παράδειγμα, αν [pic] και [pic], τότε έχουμε: [pic] και [pic]. Άρα, ο Β είναι ο αντίστροφος του Α. - Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, ο πίνακας Β είναι αντίστροφος του Α, όταν [pic] και [pic]. Αποδεικνύεται, όμως, ότι:

ΘΕΩΡΗΜΑ Αν για δυο [pic] πίνακες [pic] ισχύει μια από τις ισότητες [pic] και [pic], τότε θα ισχύει και η άλλη. Με βάση αυτό το θεώρημα, για να αποδείξουμε ότι ένας [pic] πίνακας Β είναι αντίστροφος ενός [pic] πίνακα Α, αρκεί να αποδείξουμε μία μόνο από τις ισότητες [pic] και [pic]. - Τέλος, αν ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος, τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες:

| (i) [pic] | |(ii) [pic] |

Πράγματι, για την (i) έχουμε: - Αν [pic], τότε [pic], οπότε [pic]. - Αν [pic], τότε [pic], οπότε [pic]. Ομοίως αποδεικνύεται και η (ii).

ΣΧΟΛΙΟ Γνωρίζουμε ότι για τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών ισχύει επιπλέον και η ιδιότητα: "αν [pic], τότε [pic] ή [pic]". Η ιδιότητα, όμως, αυτή δεν ισχύει για τον πολλαπλασιασμό των πινάκων, αφού π.χ. για τους πίνακες [pic] και [pic] ισχύει [pic] χωρίς, ωστόσο, να είναι [pic] ή [pic]. Δηλαδή: "Μπορεί ένα γινόμενο πινάκων να ισούται με το μηδενικό πίνακα, χωρίς κανένας να είναι μηδενικός". Στην περίπτωση όμως που ισχύει [pic] και ο ένας από τους πίνακες είναι αντιστρέψιμος, τότε ο άλλος είναι μηδενικός. Πράγματι, αν ο Α είναι αντιστρέψιμος, τότε έχουμε διαδοχικά: [pic] [pic] [pic] [pic].